Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).

[_Mithrandir]

Zadanie brzmi:

Niech \(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{n}|} = x}\) i \(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{2n}|} = y}\). Przedstaw \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\) jako funkcję \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

Mam tylko takie wzory:

\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{\overline{s}_{\overline{n}|} - nv^n}{\delta}}\)

\(\displaystyle{ \overline{s}_{\overline{n}|} = (1+i)^n \overline{a}_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n - 1}{\delta}}\)

Stąd od biedy

\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n x - nv^n}{\delta}}\)

Ale to tylko jako funkcja \(\displaystyle{ x}\), zresztą wyglądająca niezbyt satysfakcjonująco. Ma ktoś jakiś lepszy pomysł?

[Frey]

No ale wtedy to

\(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{2n}|} = y=\frac{(1+i)^{2n} - 1}{\delta} \cdot \frac{1}{(1+i)^{2n}}}\)

Tak?

Jeśli, tak to nie widzę, jak to dostawić do \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\)

O tym \(\displaystyle{ nv^n}\) da się coś więcej powiedzieć?

[_Mithrandir]

O \(\displaystyle{ nv^n}\) wiadomo tylko tyle, że \(\displaystyle{ v}\) jest czynnikiem dyskontującym (\(\displaystyle{ v = \frac{1}{1+i}}\)). Można by też z \(\displaystyle{ y}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ v^n}\) i podstawić do \(\displaystyle{ n \cdot v^n}\), ale nie wiem, ile ma to sensu.

[Frey]

No to uproszczenia takie nic nie daje w praktyce, bo i tak w \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\) będzie wyrażenie jakieś \(\displaystyle{ *1+i)^n}\) zatem to ni jak nie ułatwi obliczeń, a wzór będzie wyglądał jeszcze gorzej.

[_Mithrandir]

No nic, jedyne, co uzyskałem, to takie coś:

\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x + \delta n y - n}{\delta v^n}}\)

Ale jak już pisałeś, zbyt wiele to nie daje. Chyba, że może masz jeszcze jakiś pomysł, żeby to poprawić. Dzięki za dotychczasowe odpowiedzi.

[Frey]

Serio nie spodziewałem się, że tak ładnie się uprosić. Niby zostało to nieszczęsne \(\displaystyle{ v^n}\), ale pomijając, to wygląda to całkiem nieźle.
Możesz rozpisać to z jeden lud dwa kroki wcześniej, bo może komuś to się przydać i tak to znajdzie na forum.

Tak przy okazji, to jest jakieś zadanie z matematyki aktuarialnej?

[_Mithrandir]

Skorzystałem z tego, że po pomnożeniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ v^n}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x - nv^{2n}}{\delta v^n} = \frac{x}{\delta v^n} - \frac{n}{v^n} \frac{v^{2n}}{\delta}}\)

oraz

\(\displaystyle{ y = \frac{1 - v^{2n}}{\delta} = \frac{1}{\delta} - \frac{v^{2n}}{\delta}.}\)

Połączenie tego w całość jest już wtedy raczej proste. Można jeszcze próbować z podstawianiem \(\displaystyle{ v^n = 1 - \delta x}\) i \(\displaystyle{ n = \frac{\mbox{ln}(1 - \delta x)}{- \delta}}\), ale wzór robi się po tym brzydki i nieczytelny.

Tak przy okazji, to jest jakieś zadanie z matematyki aktuarialnej?

Pochodzi z książki, w której było zadanie z obligacji z dziwną treścią (pytałem o nie w innym poście): Ubezpieczenia na życie i komunikacyjne, K. Dziedziul, J. Czarnowska. Myślę więc, że jak najbardziej wchodzi w zakres matematyki aktuarialnej.