równanie różniczkowe Bernoulliego

[marina92]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ y'+\frac{xy}{1-x^2}=x\sqrt{y}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}, \\
u=y^{1-\alpha}=y^{\frac{1}{2}}\\
u'=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y'\\
2u'=y^{-\frac{1}{2}}y'\\
\\
y'+\frac{xy}{1-x^2}=xy^\alpha/:y^\alpha\\
y'y^{-\alpha}+\frac{xy^{1-\alpha}}{1-x^2}=x\\
y'y^{-\frac{1}{2}}+\frac{xy^{\frac{1}{2}}}{1-x^2}=x\\
2u'+\frac{xu}{1-x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ u'+ \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) }u= \frac{x}{2}}\) - równanie liniowe niejednorodne

Wyznaczam u:
\(\displaystyle{ u=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C}\)
\(\displaystyle{ u'=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C'+C\frac{1}{4}\left( 1-X^2\right)^{-\frac{3}{4}} \left( -2x\right)}\)

Podstawiam do wzoru: \(\displaystyle{ u'+ \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) }u= \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C'+C\frac{1}{4}\left( 1-X^2\right)^{-\frac{3}{4}} \left( -2x\right) + \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) } \cdot \left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C = \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ C'=\frac{x}{2(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}}\)
\(\displaystyle{ C=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{4}} +A}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ u=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left( -\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{4}} +A\right) = -\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\)

\(\displaystyle{ y= \left[ -\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{2}}\)


Ale w odpowiedzi jest, że : \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\)


Proszę o pomoc, nie wiem gdzie robię błąd.-- 27 mar 2013, o 09:26 --Czy naprawdę nikt nie potrafi sprawdzić tego zadania?? Podałam nawet całe moje rozwiązanie, bo jestem pewna że nikt by go nie rozwiązał..

[stokrotka1992]

Czy mógłby ktoś napisać czy to jest dobrze policzone???-- 27 mar 2013, o 22:42 --Czy mógłby ktoś napisać czy to jest dobrze policzone???

[fiszbina2510]

a nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ u=Ce^{\int{\frac{x}{2(1-x^2)}}}=C(1-x^2)^{-\frac{1}{4}}}\)