Zbadać ciągłość i różniczkowalność.

[bobihno]

Witam! Jeśli było, to przepraszam.
Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji \(\displaystyle{ f:(- \frac{ \pi }{2},\frac{\pi }{2}) \to R}\) danej wzrorem:

\(\displaystyle{ f(x_{0}) = \lim_{t \to x_{0}} \frac{ t^{2} }{\tg t}}\) dla \(\displaystyle{ x_{0} \in (-\frac{ \pi }{2},\frac{\pi }{2})}\)

Chodzi tutaj przede wszystkim o sprawdzenie różniczkowalności w zerze, ale przy sprawdzaniu z definicji pojawiają się dwie granice i nie jestem pewien jak sobie z tym poradzić. Z góry dziękuję za pomoc.

[Kartezjusz]

Opisz obliczenia. Prawdopodobnie nie jest różniczkowalna w zerze.

[bobihno]

\(\displaystyle{ f'(0)= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{\lim_{t \to x} \frac{ t^{2} }{\tg t}-\lim_{t \to 0} \frac{ t^{2} }{\tg t}}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\lim_{t \to x} \frac{ t^{2} }{\tg t}}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ x^{2} }{\tg x}}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tg x}=1}\)
Tutaj nie wiem czy poprawne jest przejście z \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\lim_{t \to x} \frac{ t^{2} }{\tg t}}{x}}\) do \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ x^{2} }{\tg x}}{x}}\)

[Kartezjusz]

Tak,ponieważ. \(\displaystyle{ \frac{t^{2}}{\tg t}}\)jest ciągła.

[bobihno]

Czyli rozumiem, że to co napisałem, dowodzi różniczkowalności w zerze?

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ f(\xi ) =\begin{cases} \frac{\xi^2 }{\tan \xi } \mbox{ dla } \xi \neq 0 \\ 0 \mbox{ dla } \xi =0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f' (0) = \lim_{ h\to 0 } \frac{f(h) -f(0)}{h} = \lim_{ h\to 0 } \frac{\frac{h^2 }{\tan h }}{h} =\lim_{ h\to 0 } \frac{h }{\tan h } =1}\)