Znajdź czynnik całkujący i rozwiąż.
Znajdź czynnik całkujący i rozwiąż.
\(\displaystyle{ \left(\frac{2x}{y ^{2}}- \frac{1}{2x} \right)+ \frac{1}{y} \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0}\)
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Znajdź czynnik całkujący i rozwiąż.
\(\displaystyle{ y'=-\left(\frac{2x}{y}-\frac{y}{2x}\right)}\)
O jaki czynnik chodzi? To równanie jednorodne.
O jaki czynnik chodzi? To równanie jednorodne.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Znajdź czynnik całkujący i rozwiąż.
octahedron, tak tyle że skoro ma podaną metodę to mogą jej/jemu nie uznać
Spróbuj czynnika całkującego zależnego od obydwu zmiennych ale będącego iloczynem
funkcji jednej zmiennej
Czynnik całkujący to \(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)= \frac{x^2}{y^5}}\)
Z twierdzenia Schwarza masz że aby mieć równanie zupełne musi zachodzić równość pochodnych cząstkowych
Z równości tej otrzymujesz równanie cząstkowe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mu P}{ \partial y}- \frac{ \partial \mu Q}{ \partial x}=0}\)
Zakładasz że czynnik jest postaci
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\varphi\left( y\right)\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \\}\)
(to są najprostsze przypadki)
(tutaj masz do czynienia z trzecim przypadkiem)
następnie rozwiązujesz te równanie cząstkowe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \left(\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)P\left( x,y\right) \right) }{ \partial y}- \frac{ \partial \left(\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) \right) }{ \partial x}=0\\
\frac{ \partial \psi\left(y \right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)+\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}-\left( \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right)+\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=0 \\
\frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)- \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) +\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=0\\
\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) -\frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)\\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}= \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x} \cdot \frac{1}{\varphi\left( x\right) }Q\left( x,y\right)- \frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y} \cdot \frac{1}{\psi\left( y\right) } P\left( x,y\right)}\)
Niech
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\varphi\left( x\right) }{\varphi\left( x\right) }=f\left( x\right)\mbox{d}x \\
\frac{ \mbox{d} \psi\left( y\right) }{\psi\left( y\right) }=g\left( y\right) \mbox{d}y \\}\)
wtedy otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right)}\)
Spróbuj czynnika całkującego zależnego od obydwu zmiennych ale będącego iloczynem
funkcji jednej zmiennej
Czynnik całkujący to \(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)= \frac{x^2}{y^5}}\)
Z twierdzenia Schwarza masz że aby mieć równanie zupełne musi zachodzić równość pochodnych cząstkowych
Z równości tej otrzymujesz równanie cząstkowe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mu P}{ \partial y}- \frac{ \partial \mu Q}{ \partial x}=0}\)
Zakładasz że czynnik jest postaci
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\varphi\left( y\right)\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \\}\)
(to są najprostsze przypadki)
(tutaj masz do czynienia z trzecim przypadkiem)
następnie rozwiązujesz te równanie cząstkowe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \left(\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)P\left( x,y\right) \right) }{ \partial y}- \frac{ \partial \left(\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) \right) }{ \partial x}=0\\
\frac{ \partial \psi\left(y \right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)+\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}-\left( \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right)+\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right) \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=0 \\
\frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)- \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) +\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=0\\
\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x}\psi\left( y\right)Q\left( x,y\right) -\frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y}\varphi\left( x\right)P\left( x,y\right)\\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}= \frac{ \partial \varphi\left( x\right) }{ \partial x} \cdot \frac{1}{\varphi\left( x\right) }Q\left( x,y\right)- \frac{ \partial \psi\left( y\right) }{ \partial y} \cdot \frac{1}{\psi\left( y\right) } P\left( x,y\right)}\)
Niech
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\varphi\left( x\right) }{\varphi\left( x\right) }=f\left( x\right)\mbox{d}x \\
\frac{ \mbox{d} \psi\left( y\right) }{\psi\left( y\right) }=g\left( y\right) \mbox{d}y \\}\)
wtedy otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right)}\)