Rozwiąż, znajdując czynnik całkujący

[pchelaa]

Proszę o pomoc z takim równaniem:
\(\displaystyle{ xy^{2}+y -x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0}\)

[mechatronik300]

Przerzuć \(\displaystyle{ x ^{2}}\), przekształć tak żebyś miał \(\displaystyle{ y'}\) przez nic nie przemnożony. Wtedy przy \(\displaystyle{ y}\) dostaniesz wyrażenie \(\displaystyle{ p(x)}\).
oblicz:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} p(x) \mbox{d}x =P(x)}\)
i zapisz:
\(\displaystyle{ e ^{P(x)}}\)
dalej wystarczy podstawić do wzoru.

[pchelaa]

Mógłbyś trochę bardziej rozpisać?

[mechatronik300]

edytowałeś to chyba.
jeśli to jest równanie
\(\displaystyle{ xy^{2}+y -x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0}\)
a nie:
\(\displaystyle{ x^{2}+y -x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0}\)
to jest równanie bernouliego.

[yorgin]

Oznaczmy

\(\displaystyle{ P=xy^2+y\qquad Q=-x}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}=2xy+1\qquad \pfrac{Q}{x}=-1}\)

Wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{P}=-\frac{2}{y}}\)

jest niezależne od \(\displaystyle{ x}\), więc dostajemy czynnik całkujący zmiennej \(\displaystyle{ y}\) :

\(\displaystyle{ \varphi(y)=e^{\int -\frac{2}{y}dy}=\frac{1}{y^2}}\)

Mnożymy przez wyjściowe równanie przez \(\displaystyle{ \varphi}\) i dostajemy równanie zupełne

\(\displaystyle{ \left(x+\frac{1}{y}\right)dx-\frac{x}{y^2}dy=0}\)

Dalej powinnaś sobie dać radę.