Całka krzywoliniowa - pytanie

[adamsstr]

Mam do policzenia całkę: \(\displaystyle{ \int_{S}(3x^{2}\sin{y}+y^{2})dx+(2yx+x+x^{3}\cos{y})dy}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to wykres funkcji \(\displaystyle{ y=-\sin{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -\pi ,\pi\right]}\) przebiegany od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). Nie wiem, czy dobrze kombinuję, ale podzieliłbym sobie krzywą \(\displaystyle{ S}\) na dwie inne w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i zapisałbym całkę jako \(\displaystyle{ \int_{S}Pdx+Qdy = \int_{S_{1}}Pdx+Qdy +\int_{S_{2}}Pdx+Qdy}\) i skorzystał z twierdzenia Greena, uwzględniając odcinki na osi OX. Pytanie - mogę sobie tak podzielić krzywą? W notatkach z wykładu nie mogę nic na ten temat znaleźć...

[yorgin]

Nie możesz tak dzielić, a tym bardziej stosować twierdzenia Greena. Tu nie ma żadnego obszaru normalnego, które wykres sinusa mógłby ograniczyć.

Chcąc z niego skorzystać, musisz dodać i odjąć całkę krzywoliniową po odcinku zawartym na osi OX. W ten sposób dostaniesz obszar normalny, dla którego możesz zastosować Tw Greena.

Pytanie: Czy przy \(\displaystyle{ Q}\) jest na pewno \(\displaystyle{ 2yx+x+x^3\cos y}\) ? Bo ten \(\displaystyle{ x}\) bruździ strasznie.

[adamsstr]

Hmmm... Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ A(-\pi ,0),O(0,0),B(\pi ,0)}\), \(\displaystyle{ D}\) to nasz obszar normalny, to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left(-\int_{\overline{OA}}+\int_{S}-\int_{\overline{BO}}\right)Pdx+Qdy=\int_{D}\left(\frac{ \partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}\) ?

I tak, \(\displaystyle{ Q}\) ma, niestety, taką postać, jak napisałem

[yorgin]

Źle. musisz jeszcze odjąć od całki wyliczonej ze wzoru Greena wartość całek na odcinkach na osi OX, dlatego że je wcześniej dodałeś. A znaki całek po lewej stronie winny być ujemne.

O \(\displaystyle{ Q}\) pytałem dlatego, że bez tego \(\displaystyle{ x}\) wychodzi całka różniczki zupełnej. Jeśli jest to przykład z ćwiczeń, to kreatywny on nie jest, jeśli z książki, to jest wredny.

[adamsstr]

Teraz to ja już zgłupiałem . Mógłbyś mi napisać poprawną równość? Wtedy sobie na spokojnie przeanalizuję wszystko... I dziękuję za pomoc!

A zadanko jest z przykładowego sprawdzianu od wykładowczyni, może jej się palec omsknął na klawiaturze z pośpiechu

[yorgin]

W skróconej wersji:

\(\displaystyle{ \left(\int_{S}+\int_{\overline{AB}}\right)Pdx+Qdy-\int_{\overline{AB}}Pdx+Qdy=\int_{D}\left(\frac{ \partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy-\int_{\overline{AB}}Pdx+Qdy}\)

Wydaje mi się, że tyle wystarczy. Dopełniam krzywą do zamkniętej, jednocześnie odejmując to, co dodałem. Pierwszy kawałek to wzór Greena, drugi jest łatwy do policzenia z definicji z racji tego, że \(\displaystyle{ y=0}\).

[adamsstr]

Jeszcze raz dziękuję, teraz jest wszystko jasne.