Równanie Bernoulliego

[Studentka_mat]

Proszę o sprawdzenie poprawności zadania.
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ y'+\frac{xy}{1-x^2}=x\sqrt{y}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}, \\
u=y^{1-\alpha}=y^{\frac{1}{2}}\\
u'=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y'\\
2u'=y^{-\frac{1}{2}}y'\\
\\
y'+\frac{xy}{1-x^2}=xy^\alpha/:y^\alpha\\
y'y^{-\alpha}+\frac{xy^{1-\alpha}}{1-x^2}=x\\
y'y^{-\frac{1}{2}}+\frac{xy^{\frac{1}{2}}}{1-x^2}=x\\
2u'+\frac{xu}{1-x^2}=x}\)
Jest to równanie liniowe niejednorodne, zatem:

\(\displaystyle{ 2u'+\frac{xu}{1-x^2}=0\\
\frac{du}{dx}=-\frac{xu}{2(1-x^2)}\\
\int\frac{du}{u}=-\frac{1}{2}\int\frac{xdx}{1-x^2}\\
\ln |u|=\ln |1-x^2|^{\frac{1}{4}}+A\\
u=C(1-x^2)^{\frac{1}{4}}\\}\)

\(\displaystyle{ u'=C'(1-x)^{\frac{1}{4}}+ \frac{1}{4}\cdot (-2x)\cdot C(1-x^2)^{\frac{1}{4}}\\}\)
Wcześniej wyznaczyłam sobie \(\displaystyle{ 2u'=x-\frac{xu}{1-x^2}}\), gdy wyznaczę u' i podstawię do powyższego równania otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}- \frac{xC(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}{2(1-x^2)}=C'(1-x^2)^{\frac{1}{4}}- \frac{1}{2} xC(1-x^2)^{-\frac{3}{4}}\\
C'=\frac{x}{2(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}\\
C=\int \frac{xdx}{2(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}\\
C=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{4}} +B}\)

[mechatronik300]

Moim zdaniem źle podstawiłaś na końcu. No i poza tym trzeba dokończyć zadanie.
Wyznaczyłaś \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ u'}\) po co to robić drugi raz?

[Studentka_mat]

Wiem, że to nie koniec zadania i muszę wyznaczyć y ale nie zgadza mi się wynik więc nie chciałam bez sensu pisać dalej. Gdzie jest ten błąd?

[mechatronik300]

\(\displaystyle{ u=C(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}\)
\(\displaystyle{ u'=C'(1-x)^{\frac{1}{4}}+ \frac{1}{4}\cdot (-2x)\cdot C(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}\)

to wstaw do równania i przyrównaj do \(\displaystyle{ x}\) bo drugi raz wyznaczyłaś \(\displaystyle{ u'}\) nie potrzebnie.

[Studentka_mat]

Do którego równania postawić do tego?
\(\displaystyle{ 2u'=x-\frac{xu}{1-x^2}}\)

[mechatronik300]

Możesz do tego

[stokrotka1992]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ y'+\frac{xy}{1-x^2}=x\sqrt{y}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}, \\
u=y^{1-\alpha}=y^{\frac{1}{2}}\\
u'=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y'\\
2u'=y^{-\frac{1}{2}}y'\\
\\
y'+\frac{xy}{1-x^2}=xy^\alpha/:y^\alpha\\
y'y^{-\alpha}+\frac{xy^{1-\alpha}}{1-x^2}=x\\
y'y^{-\frac{1}{2}}+\frac{xy^{\frac{1}{2}}}{1-x^2}=x\\
2u'+\frac{xu}{1-x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ u'+ \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) }u= \frac{x}{2}}\) - równanie liniowe niejednorodne

Wyznaczam u:
\(\displaystyle{ u=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C}\)
\(\displaystyle{ u'=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C'+C\frac{1}{4}\left( 1-X^2\right)^{-\frac{3}{4}} \left( -2x\right)}\) - to jest jak najbardziej potrzebne aby móc potem wyznaczyć C!

Podstawiam do wzoru: \(\displaystyle{ u'+ \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) }u= \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C'+C\frac{1}{4}\left( 1-X^2\right)^{-\frac{3}{4}} \left( -2x\right) + \frac{x}{2\left( 1-x^2\right) } \cdot \left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}C = \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ C'=\frac{x}{2(1-x^2)^{\frac{1}{4}}}}\)
\(\displaystyle{ C=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{4}} +A}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ u=\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left( -\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{4}} +A\right) = -\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\)

\(\displaystyle{ y= \left[ -\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{2}}\)


Ale w odpowiedzi jest, że : \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}\left( 1-x^2\right)+A\left( 1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\)


Gdzie mam błąd?? Jak ktoś potrafi to rozwiązać i dojść do poprawnego wyniku bez wyznaczania u', to może niech to zaprezentuje bo ja inaczej nie umiem i nie czytam w cudzej wyobraźni. Proszę o pomoc, bo wynik niby dobry ale dla u a nie y a mam wyznaczyć y.

[mechatronik300]

Wygląda na błąd w odpowiedzi to się zdarza.

[Studentka_mat]

mechatronik300 pisałeś, że mam błąd zatem ja pytam dalej gdzie ten błąd? stokrotka1992 rozwiązała to zadanie "po Twojemu" i wyszło jej to samo, więc co jest złego w moim podstawieniu?

[mechatronik300]

Wcześniej wyznaczyłam sobie \(\displaystyle{ 2u'=x-\frac{xu}{1-x^2}}\), gdy wyznaczę u' i podstawię do powyższego równania otrzymuję

Wnioskowałem że w tym miejscu wyznaczasz jeszcze raz \(\displaystyle{ u'}\) co było by błędem.

Jak widać źle cię zrozumiałem błędna w tym zadaniu jest odpowiedź autora wasze rozwiązania są poprawne.

[stokrotka1992]

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania kogoś kompetentnego.