Rozkład funkcji w szereg Fouriera

patlas · Post autor: **patlas** » 21 mar 2013, o 21:30

Witam,
mam pewien problem z wyznaczeniem szeregu w oparciu o podana funkcje. Wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} A \sin \frac{2\pi}{T} t, \ dla \ t \in \left\langle 0, \frac{T}{2}\right\rangle \\ 0 , \ dla \ t \in \left( \frac{T}{2}, T\right) \end{cases}}\)
Przebieg ten wygląda jak wyprostowany jednopołówkowo prąd. Mój problem polega na tym że nie bardzo wiem jak policzyć współczynniki \(\displaystyle{ a_k, \ b_k}\)
Wiem jak wygląda postać ogólna całki dla tego współczynnika ale nie wiem jak dobrać granice bo w połowie okresu jest określona funkcją sinusoidalną a w drugiej połowie wynosi 0 (ma to być suma dwóch całek z obu funkcji z granicami odpowiadającym im przedziałom czy cały okres od 0 do T dla całki funkcji sinusoidalnej?)

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 21 mar 2013, o 21:53

Ten pierwszy wariant.

patlas · Post autor: **patlas** » 21 mar 2013, o 22:05

czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ a_k= \frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} A \sin \left( \frac{2 \pi}{T}t\right) \cos \left( k \frac{2 \pi}{T}t\right) dt + \frac{2}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{T} 0dt}\)
Tylko co z otwartym przedziale w drugiej całce?

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 21 mar 2013, o 22:14

To nie ma znaczenia przy całkowaniu.

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 21 mar 2013, o 22:58

Tak w kwestii dopowiedzenia - nie ma to znaczenia, ponieważ domknięcie tej granicy oznaczałoby "dodatkowo" liczenie całki w tym danym punkcie, a całka w punkcie czyli w granicach - w tym przypadku - od \(\displaystyle{ T}\) do \(\displaystyle{ T}\) wynosi oczywiście zero (niezależnie od tego jaka funkcja jest pod całką).