Twierdzenie o operatorach

[Miroslav]

Mamy takie twierdzonko:
Założenia: \(\displaystyle{ T,S:X \to X}\), \(\displaystyle{ T\circ S=S\circ T = id}\), o zbiorze \(\displaystyle{ X}\) niczego nie zakładamy.
Teza: \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) są bijekcjami \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ X}\), a ponadto \(\displaystyle{ T^{-1}=S}\) i \(\displaystyle{ S^{-1}=T}\)

Podać przykład zbioru \(\displaystyle{ X}\) i dwóch odwzorowań \(\displaystyle{ T,S:X \to X}\) takich, że \(\displaystyle{ T\circ S=id}\), lecz \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) nie są bijekcjami.

[szw1710]

\(\displaystyle{ (\sqrt{x})^2=x}\)

[Miroslav]

Pierwiastek to bijekcja przecież. Chyba, że nie rozumiem o co chodzi.

[szw1710]

Obie mają nie być bijekcjami... OK. Zresztą w moim "przykładzie" obie są jako funkcje \(\displaystyle{ \RR^+\to\RR^+}\). Ale dalej nie kombinuję. Zmęczony jestem. Dobrej nocy.

[Miroslav]

Jeśli są określone jako funkcje \(\displaystyle{ \RR^+\to\RR^+}\) to obie są bijekcjami, więc to raczej nie jest dobry przykład. Ma ktoś jeszcze jakiś pomysł?

[royas]

Coś w stylu \(\displaystyle{ X=[0,2]; T(x)=x/2; S(x)=2x\ dla\ x\le 1, 0\ wpp}\)

[szw1710]

Tak. Mamy \(\displaystyle{ S\bigl(T(x)\bigr)=x}\). Bierze się to stąd, że \(\displaystyle{ T(x)\le 1}\). Oba odwzorowania nie są bijekcjami. Ale ciekawa jest inna rzecz: \(\displaystyle{ T}\) jest różnowartościowe, a \(\displaystyle{ S}\) jest na. Ciekawe czy mamy taką własność ogólnie, tzn. jeśli \(\displaystyle{ S\bigl(T(x)\bigr)=x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), to \(\displaystyle{ T}\) jest injekcją, a \(\displaystyle{ S}\) surjekcją?

[royas]

Tak na szybko to chyba tak musi być. Gdyby \(\displaystyle{ T}\) nie było iniekcją to weźmy \(\displaystyle{ x\neq y}\) dla których \(\displaystyle{ T(x)=T(y)}\), wtedy \(\displaystyle{ S(T(x))\neq S(T(y))}\).

[szw1710]

To jedno mamy. Teraz surjektywność \(\displaystyle{ S}\). Trywialnie. Biorąc \(\displaystyle{ y\in X}\) mamy \(\displaystyle{ y=S(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=T(y)}\)

I przy głupocie podaliśmy fajny dowód twierdzenia o odwzorowaniach odwrotnych. Bo zamieniając rolami \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) otrzymujemy na odwrót: injektywność \(\displaystyle{ S}\) i surjektywność \(\displaystyle{ T}\), co daje nam bijektywność obu.

[Jan Kraszewski]

To, szczerze mówiąc, dość podstawowy i dobrze znany fakt.

JK

[szw1710]

Zapewne Ameryki nie odkryliśmy Jednak klasycznie kiedyś na wstępie nikt tak tego nie wykładał. Można się czegoś na stare lata nauczyć. Dlatego lubię Forum.