Podzielność, znajdz a

[magnevox]

Proszę o pomoc
Niech \(\displaystyle{ a, \ x}\) będą liczbami całkowitymi. Wiemy, że: \(\displaystyle{ a > 1, a|(11x + 3), a|(555x + 52)}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ a}\).

[tometomek91]

Z rozszerzonego algorytmu Euklidesa mamy: \(\displaystyle{ 1=101 \cdot 11-2 \cdot 555}\). Z chińskiego twierdzenia o resztach mamy, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=-3 \cdot 2 \cdot 555+52 \cdot 101 \cdot 11=54442}\).

[magnevox]

Fakt, teraz widzę że popełniłem pomyłkę, powinno być \(\displaystyle{ a|(55x + 52)}\). Czy to duzo zmienia?

[Milczek]

nie, nadal trzeba skorzystać z tych samych narzędzi , analogicznie zrób drugi przykład

[bosa_Nike]

Z rozszerzonego algorytmu Euklidesa mamy: \(\displaystyle{ 1=101 \cdot 11-2 \cdot 555}\). Z chińskiego twierdzenia o resztach mamy, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=-3 \cdot 2 \cdot 555+52 \cdot 101 \cdot 11=54442}\).

Czy ktoś znalazłby chwilę, by wytłumaczyć mi, dlaczego to rozwiązanie jest dobre? Najlepiej z podaniem przykładowego iksa, który spełnia warunki zadania. Dziękuję.-- 22 marca 2013, 10:24 --Dobra, nvm.

Tak ja to widzę:    

Musimy mieć dla pewnych \(\displaystyle{ k,m\in\mathbb{Z}}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}11x+3=ka\\ 555x+52=ma\end{cases}\ \Rightarrow\ 555(11x+3)-11(555x+52)=1093=(555k-11m)a}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ 1093\in\mathbb{P}\ \Rightarrow\ 1<\underline{a=1093}\ \Rightarrow\ 555k-11m=1\ \Rightarrow\\ \\ k=11n+9,\ m=555n+454\ \Rightarrow\ \underline{x=1093n+894},\ n\in\mathbb{Z}}\)


Dla poprawionych danych mamy: \(\displaystyle{ a=37,\ k=11n+9,\ m=55n+46,\ x=37n+30,\ n\in\mathbb{Z}}\)