Rozkład dwumianowy

[jackie]

Witam, oto "proste" zadanie:
Jeśli \(\displaystyle{ S_{n}}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n,p}\) to \(\displaystyle{ n - S_{n}}\) , ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n, 1-p}\).

Zadanie wygląda na proste.. Po rozpisaniu jednak nic mi nie wyszło. Nie wiem czy popełniam gdzieś błąd, czy w ogóle zaczynam nie tak jak trzeba, a siedziałam nad tym dość długo i próbowałam zrobić to inaczej.. Od czego zacząć w tym zadaniu?

[szw1710]

\(\displaystyle{ n-S_n}\) to po prostu liczba porażek w \(\displaystyle{ n}\) próbach Bernoulli'ego. Więc jakiż inny rozkład może mieć? Prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie to właśnie \(\displaystyle{ 1-p}\).

[jackie]

jak sobie podstawie \(\displaystyle{ n, 1-p}\) jako parametry to widzę, ale jak zobaczyć że \(\displaystyle{ n - S _{n}}\) to liczba porażek w n próbach? Bo tego po prostu nie widzę.. I czy trzeba to jakoś formalnie udowodnić, czy wyjaśnienie wystarczy?

[szw1710]

Jeśli \(\displaystyle{ S_n=k}\), to w \(\displaystyle{ n}\) próbach odniosłaś \(\displaystyle{ k}\) sukcesów, a co za tym idzie, \(\displaystyle{ n-k}\) porażek. Czy to nie jest trywialne?

[jackie]

Bardzo trywialne, ale skąd zapis \(\displaystyle{ S _{n} = k}\) ?
Dla mnie zapis \(\displaystyle{ n - S _{n}}\) dla parametrów \(\displaystyle{ n, 1-p}\) oznacza liczbę prób odjąć prawdopodobieństwo k porażek w n próbach, a to mi nic nie mówi..

[szw1710]

Oznaczyłem \(\displaystyle{ k\in\{0,1,\dots,n\}}\) jako liczbę sukcesów. W tym momencie \(\displaystyle{ n-k}\) to liczba porażek. W nowym doświadczeniu \(\displaystyle{ n-S_n}\) sukcesem jest porażka w starym doświadczeniu \(\displaystyle{ S_n}\). Stąd prawdopodobieństwo "sukcesu" to \(\displaystyle{ 1-p}\). Jaśniej naprawdę nie potrafię sprawy wyjaśnić. Musisz dać też coś od siebie, jakąś gotowość na wiedzę, a nie na otrzymywanie wszystkiego na talerzu.

[jackie]

Dostać wszystko na talerzu?
Liczyłam tylko na pomoc (w odczytaniu) albo wyprowadzenie mnie z błędu, który widzę dopiero po zajęciach. Mówiłam, że ta manipulacja we wzorach liczba sukcesów i porażek jest oczywista.
Jakby ktoś kiedykolwiek miał podobny problem, nie widziałby tego wzoru, to..
Mój błąd polegał na tym że tutaj \(\displaystyle{ S _{n}}\) NIE JEST PRAWDOPODOBIEŃSTWEM, jak wcześniej napisałam, że myślę.
Pani prowadząca na ćwiczeniach to prawdopodobieństwo zapisywała jako \(\displaystyle{ P(S _{n} )}\) i teraz wszystko jest jasne. Trywialny błąd, ale trudny do przejścia jak ktoś nie miał wiele do czynienia z rachunkiem prawdopodobieństwa wcześniej..