[Wielomiany][Teoria liczb] Suma z symbolem Newtona

[bakala12]

Wykazać, że jeżeli każdy współczynnik rozwinięcia wielomianu \(\displaystyle{ x\left(1+x \right)^{n}}\) podzielić przez stopień niewiadomej x, przy której stoi, to suma otrzymanych ułamków jest równa \(\displaystyle{ \frac{2 ^{n+1} -1}{n+1}}\).

[m-2]

Ukryta treść:    

Ta suma to \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \\ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k}=(1+x)^n
\\ \int_0^1 \left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k} \right ) dx=\left [\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}x^{k+1} \right ]_0^1=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}
\\ \int_0^1 \left (1+x \right )^n dx=\begin{vmatrix}
t=x+1\\ dt=dx

\end{vmatrix}=\int_1^2t^ndt=\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_1^2=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}}\)