Układ równań

[adamkuby]

Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |x+y|=1 \\ |x|+|y|=1 \end{cases}}\)

Podnieść to po prostu do kwadratu czy nie da rady?

[kamil13151]

Możesz podnieść do kwadratu, gdyż obie strony są nieujemne.

[Dilectus]

Nie ma sensu podnosić do kwadratu, bo dostaniesz tylko jedno równanie:

\(\displaystyle{ (x+y)^{2}=1}\)

Czyli równanie spełnione przez nieskończoną liczbę par liczb x,y.
I istnieje obawa, że gubimy rozwiązanie.

Zróbmy tak:
@ \(\displaystyle{ \begin{cases} |x+y|=1 \\ |x|+|y|=1 \end{cases}}\)

załóżmy, że \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y \ge 0}\)

Wówczas układ redukuje się do jednego równania prostej

\(\displaystyle{ x+y=1}\)

spełnionego przez nieskończenie wiele par liczb x, y.

Jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y<0}\)

nasz układ wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| x+y\right| =1 \\ x-y=1 \end{cases}}\)

i redukuje się do jednego równania prostej

\(\displaystyle{ y=x-1}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x < 0 \wedge y \ge 0}\)

mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| x+y\right| =1 \\ -x+y=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=0 \wedge y=1 \vee x=-1 \wedge y=0}\)

wreszcie dla \(\displaystyle{ x < 0 \wedge y < 0}\) jest

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-1 \\ -x-y=1 \end{cases}}\)

który redukuje się do równania prostej \(\displaystyle{ y=-x-1}\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań @ są punkty
\(\displaystyle{ A = (0, 1) \ \hbox {i} \ B = (-1, 0)}\)

[Jan Kraszewski]

Nie ma sensu podnosić do kwadratu, bo dostaniesz tylko jedno równanie:

\(\displaystyle{ (x+y)^{2}=1}\)

Czyżby?

Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań @ są punkty
\(\displaystyle{ A = (0, 1) \ \hbox {i} \ B = (-1, 0)}\)

Czyżby? A \(\displaystyle{ \left( \frac12, \frac12\right)}\) już nie?

Podniesienie do kwadratu nie jest złym pomysłem, tylko trzeba potem dobrze z tego skorzystać.

JK

[Premislav]

Z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ \left| x\right|+\left| y\right| \ge \left| x+y\right|}\). Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) nie są przeciwnych znaków. Zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele, jest to każda para (\(\displaystyle{ x,y}\)) spełniająca \(\displaystyle{ xy \ge 0}\) i sumująca się do \(\displaystyle{ +/-1}\). Podnieść do kwadratu jak najbardziej można, ale tak jest mniej fajnie :>(choć bardziej w zakresie materiału szkoły średniej). I nie jest prawdą, że podnosząc do kwadratu dostaniesz w obu przypadkach lewe str. postaci\(\displaystyle{ (x+y) ^{2}}\), bo \(\displaystyle{ 2\left| x\right|\left| y\right|}\) to nie zawsze to samo, co \(\displaystyle{ 2xy}\).
EDIT: poprawiłem kompromitujący błąd w jednej nierówności.

[adamkuby]

Nie do końca rozumiem. Jestem w szkole średniej więc chyba lepsza bedzie dla mnei wersja z podniesieniem do kwadratu i otrzymuje coś takiego:

\(\displaystyle{ (x+y)^{2} =1 \\
x^{2} + y^{2} =1}\)

Z pierwszego równania jest \(\displaystyle{ x^{2} +2xy+ y^{2}}\)

Po odjęciu stronami \(\displaystyle{ 2xy=0}\)

[kamil13151]

Drugie równanie po podniesieniu do kwadratu ma postać \(\displaystyle{ x^2+2|xy|+y^2=1}\).