Znaleźć wzór na sumę podanych ciągów.

[michal0906]

Mam za zadanie obliczyć:
a) \(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^{2} + \left( x ^{2} + \frac{1}{x ^{2} } \right) ^{2}+ \left( x ^{3} + \frac{1}{x ^{3} } \right) ^{2}+...+ \left( x ^{n} + \frac{1}{x ^{n} } \right) ^{2}}\)

b \(\displaystyle{ \left( x- \frac{1}{x} \right) ^{2} + \left( x ^{2} - \frac{1}{x ^{2} } \right) ^{2}+ \left( x ^{3} - \frac{1}{x ^{3} } \right) ^{2}+...+ \left( x ^{n} - \frac{1}{x ^{n} } \right) ^{2}}\)

Jakaś wskazówka?

[smigol]

Otwórz nawiasy, uporządkuj, widzisz jakiś znany ciąg?

[michal0906]

Otworzyć nawiasy, tj. podnieść to co w nawiasie do potęgi?
Coś mi się widzi, że to może być coś z ciągiem geometrycznym, ale nie jestem do końca pewny. Jak próbowałem liczyć q to mi coś nie wychodziło.

[pyzol]

\(\displaystyle{ \left(x+\frac{1}{x} \right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}}\)

[michal0906]

Uznacie mnie za matoła, ale do tego co pyzol podałeś, to doszedłem. Gorzej z sumowaniem tego wszystkiego.
Wiem, że dla każdego kolejnego wyrazu ciągu ta 2 w potędze będzie się zmieniała w 4, potem 6 itd.

-- 14 mar 2013, o 21:59 --

OK. JUŻ WIDZĘ
Dziękuję

-- 14 mar 2013, o 22:06 --

Ustaliłem, że suma tego ciągu to suma trzech składowych.
\(\displaystyle{ S _{1}=x ^{2} \cdot \frac{ \left( x ^{2} \right) ^{n} -1 }{x ^{2} -1}

S _{2}=2n

S _{3}= \frac{1}{x ^{2} } \cdot \frac{ \left( \frac{1}{ x ^{2}} \right) ^{n} -1 }{ \frac{1}{ x ^{2}} -1}}\)

No i na końcu dodać je wszystkie. Tak to ma wyglądać?

[smigol]

Tak to ma wyglądać.

[michal0906]

Bardzo wam dziękuję, że pokazaliście mi, że ta droga jest właściwa. W gruncie rzeczy jak na to teraz patrze to jest banał. Zaraz się spalę ze wstydu. Dziękuję. Temat do zamknięcia