Nierówność z szeregiem geometrycznym

[314wojti314]

Mam niemały problem z rozwiązaniem tej nierówności, będę wdzięczny za okazaną pomoc

\(\displaystyle{ -1 + \left( \sqrt{x}\right)^{2} + \left( \sqrt{x}\right)^{3} + \left( \sqrt{x}\right)^{4} + ... < \sqrt{x}}\)

[Althorion]

Po lewej stronie tej nierówności masz nieskończony ciąg geometryczny. Ile wynosi jego suma?

[314wojti314]

Wychodzi mi, że suma wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{x}\right) ^{2} }{1- \sqrt{x} }}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{x(1+ \sqrt{x}) }{1-x}}\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne?

[rafalpw]

Tak, bo rozważamy tylko \(\displaystyle{ x>0}\) (inaczej zachodziłaby równość \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}\right) ^2=\left| x\right|}\)