Miłośnicy prostych zadanek z geo mogą już stąd wyjść.
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ o_A}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB,AC}\) oraz wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ p_A}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB,AC}\) oraz zewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ ABC}\). Analogicznie definiujemy okręgi \(\displaystyle{ o_B,o_C,p_B,p_C}\).
Niech \(\displaystyle{ O,I}\) będą środkami okręgów opisanego i wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\).
Niech \(\displaystyle{ G*,N*}\) będą punktami izogonalnie sprzężonymi do Gergonne'a i Nagela.
Niech \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) będą środkami potęgowymi odpowiednio \(\displaystyle{ (o_A,o_B,o_C)}\) i \(\displaystyle{ (p_A,p_B,p_C)}\).
Niech \(\displaystyle{ l_1,l_2}\) będą prostymi zawierającej środki jednokładności zewnętrznych odpowiednio \(\displaystyle{ (o_A,o_B,o_C)}\) i \(\displaystyle{ (p_A,p_B,p_C)}\).
Wykaż, że:
1) \(\displaystyle{ G*,N*,O,I,P_1,P_2}\) są współliniowe.
2) \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) są symetryczne względem \(\displaystyle{ O}\).
3) \(\displaystyle{ l_1,l_2}\) są równoległe.
4) \(\displaystyle{ l_1 \perp OI}\).
5) Prosta \(\displaystyle{ l_1}\) jest biegunową \(\displaystyle{ N*}\), a \(\displaystyle{ l_2}\) biegunową \(\displaystyle{ G*}\) względem okręgu \(\displaystyle{ ABC}\).
[Planimetria] Mocarna konfiguracja
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
[Planimetria] Mocarna konfiguracja
Istotne wnioski w tym zadaniu:
Jeśli przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczymy środek potęgowy tych okręgów to okazuje się, że \(\displaystyle{ IP:PO=2R:r}\). Można to pokazać, rozbijając zadanie na kilka wniosków:
1) (trywialny) oś potęgowa okręgów \(\displaystyle{ o_b}\) i \(\displaystyle{ o_c}\)przechodzi przez środek \(\displaystyle{ A'}\) łuku \(\displaystyle{ BC}\) nie zawierający punktu \(\displaystyle{ A.}\)
2) (nietrywialny) oś potęgowa okręgów \(\displaystyle{ o_b}\) i \(\displaystyle{ o_c}\) przechodzi przez środek \(\displaystyle{ M_a}\) odcinka \(\displaystyle{ ID}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to środek okręgu wpisanego, a \(\displaystyle{ D}\) rzut \(\displaystyle{ I}\) na \(\displaystyle{ BC}\).
3) Z tego co wyżej widzimy, że nasze \(\displaystyle{ P}\) to środek perspektywiczny trójkątów \(\displaystyle{ A'B'C'}\) i \(\displaystyle{ M_aM_bM_c}\), ale te trójkąty są jednokładne stąd ten stosunek.
Sprawa z drugimi okręgami powinna być bardzo podobna, gdyż ich konstrukcja jest podobna jeśli będę miał czas napisze pełne wnioski.
Jeśli przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczymy środek potęgowy tych okręgów to okazuje się, że \(\displaystyle{ IP:PO=2R:r}\). Można to pokazać, rozbijając zadanie na kilka wniosków:
1) (trywialny) oś potęgowa okręgów \(\displaystyle{ o_b}\) i \(\displaystyle{ o_c}\)przechodzi przez środek \(\displaystyle{ A'}\) łuku \(\displaystyle{ BC}\) nie zawierający punktu \(\displaystyle{ A.}\)
2) (nietrywialny) oś potęgowa okręgów \(\displaystyle{ o_b}\) i \(\displaystyle{ o_c}\) przechodzi przez środek \(\displaystyle{ M_a}\) odcinka \(\displaystyle{ ID}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to środek okręgu wpisanego, a \(\displaystyle{ D}\) rzut \(\displaystyle{ I}\) na \(\displaystyle{ BC}\).
3) Z tego co wyżej widzimy, że nasze \(\displaystyle{ P}\) to środek perspektywiczny trójkątów \(\displaystyle{ A'B'C'}\) i \(\displaystyle{ M_aM_bM_c}\), ale te trójkąty są jednokładne stąd ten stosunek.
Sprawa z drugimi okręgami powinna być bardzo podobna, gdyż ich konstrukcja jest podobna jeśli będę miał czas napisze pełne wnioski.