maximum i minimum lokalne

[kkate559]

\(\displaystyle{ Niech f: G \rightarrow R, G \subset R^{n}, G- otwarty.}\)
Mowimy, ze funkcja f ma maksimum (minimum) lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x^{0} \in G,}\) jezeli istnieje \(\displaystyle{ r> 0}\) takie, że \(\displaystyle{ K( x^{0} , r) \subset G}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in K( x^{0} , r)} f(x) \le f( x^{0} ) lub (f(x) \ge f( x^{0}))}\)

moglby mi ktos wyjasnic poszczegolne oznaczenia?

\(\displaystyle{ x^{0}}\) to jakis dowolny punkt ze zbioru G w ktorym liczymy czy ma max lub min?

co to jest to \(\displaystyle{ K( x^{0} , r)}\)

i co to jest zwykle \(\displaystyle{ f (x)}\) bo czyms musi sie roznić od \(\displaystyle{ f (x^{0})}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ K(x_0,r)}\) to "kula otwarta" o środku w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Dla zbioru liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\) jest to przedział \(\displaystyle{ \left( x_0-r;x_0 +r \right)}\).

[kkate559]

ok a \(\displaystyle{ f( x^{0} )}\) ?

[pyzol]

A z tym to co?
\(\displaystyle{ x_0}\) to jest ten punkt w którym funkcja ma ekstremum lokalne.
Załóżmy że jest to maksimum. Cała definicja mówi o tym, że istnieje taki przedział otwarty, że nie ma większej wartości funkcji na tym przedziale niż \(\displaystyle{ f(x_0)}\).

[kkate559]

a f(x)?

[yorgin]

A z tym to co?
\(\displaystyle{ x_0}\) to jest ten punkt w którym funkcja ma ekstremum lokalne.
Załóżmy że jest to maksimum. Cała definicja mówi o tym, że istnieje taki przedział otwarty, że nie ma większej wartości funkcji na tym przedziale niż \(\displaystyle{ f(x_0)}\).

Jesteśmy na otwartym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR^n}\), więc zdecydowanie lepiej jest mówić o kulach otartych. Mimo iż zasadzie przedziały otwarte n-wymiarowe (n-kostki) też byłyby dobre (to też baza topologii \(\displaystyle{ \RR^n}\)), to jednak ze względu na aktualny stan wiedzy lepiej jest zachować kule.

kkate559, czytanie definicji, albo inaczej, tłumaczenie znaczków na słowa i odwrotnie, to jest umiejętność której powinno się nabyć podczas pierwszego semestru studiów. Poza tym dobrym zwyczajem nie jest mieszać kwantyfikatorów ze słowami "lub". Od tego są albo pełne zapisy słowne, albo pełne zapisy znaczkowe.