Wprowadzanie topologii przez bazę otoczeń

[justynian]

Mamy rodzinę \(\displaystyle{ \{B_x\}_{x \in X}}\) taką że:
\(\displaystyle{ \forall x \ \ B_x \neq \emptyset

\forall x \forall {U \in B_x} \ \ x \in U

\forall x \forall {B_1,B_2 \in B_x} \ \ x \in B_1 \cap B_2 \ \ \Rightarrow \ \ \exists {B \in B_x}: \ \ x \in B \subset B_1 \cap B_2

\forall x \forall {U \in B_x} \exists {V \in B_x} \forall {y \in V} \exists {W \in B_y}: W \subset U}\)

Czy jeśli wprowadzimy sobie topologię tak: \(\displaystyle{ T=\{U \subset P(X): \forall x \in U \exists V \in B_x: \ \ V \subset U\}}\), to ta rodzina będzie bazą otoczeń ? Proszę o dowód jeśli odpowiedź brzmi tak. (jak widac rozważamy tutaj otoczenia dowolne, i nie potrafię wykazać że dla każdego zbioru z tej rodziny znajde otwarty w tej topologii w nim zawarty ...)

[Czypindzisiont]

Wystarczy zauważyć, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ B_x}\) są otwarte w tej topologii - wówczas to, czego potrzebujesz, masz bezpośrednio z definicji i z faktu, że \(\displaystyle{ x\in B}\) dla każdego \(\displaystyle{ B\in B_x}\). A to, że te zbiory są otwarte, to jest dokładnie własność czwarta z tych wypisanych przez Ciebie.

[justynian]

Wystarczy zauważyć, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ B_x}\) są otwarte w tej topologii - wówczas to, czego potrzebujesz, masz bezpośrednio z definicji i z faktu, że \(\displaystyle{ x\in B}\) dla każdego \(\displaystyle{ B\in B_x}\). A to, że te zbiory są otwarte, to jest dokładnie własność czwarta z tych wypisanych przez Ciebie.

Zbiory z \(\displaystyle{ B_x}\) nie są otwarte w tej topologii ...