Domknięcie zbioru A

[elodymek]

Jakie jest domknięcie zbioru \(\displaystyle{ \ \left[ A=\bigcup^{\infty}_{k=1}\ A_k\ \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \ \left[ A_k= \left\{ \left( x,\arctan \left( kx \right) \right) \ ;\ x\in\mathbb{R} \right\} \ \right]}\)? Pilne.
Jak dla mnie to będzie zbiór:
\(\displaystyle{ \overline{A}= \left\{ \left( x,\arctan \left( kx \right) \right) \ ;\ x\in\mathbb{R},\ k\geqslant 1,\ k\in\mathbb{N} \right\} \cup\\ \cup \left\{ \left( x,-\frac{\pi}{2} \right) \ ;\ x\leqslant 0 \right\} \cup \left\{ \left( x,\frac{\pi}{2} \right) \ ;\ x\geqslant 0 \right\}}\).
Mógłby to ktoś potwierdzić?

[Dasio11]

Prawie. Będzie jeszcze sporo punktów zbioru \(\displaystyle{ \overline{A}}\) na osi OY.

[elodymek]

Niby skąd na osi \(\displaystyle{ OY}\) będą jeszcze jakieś punkty poza \(\displaystyle{ \left( 0,0 \right) ,\ \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) ,\ \left( 0,-\frac{\pi}{2} \right)}\)?

[Dasio11]

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) i każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest

\(\displaystyle{ \left< \frac{x}{n} , \arctg x \right> \in A_n,}\)

czyli

\(\displaystyle{ \left< \frac{x}{n} , \arctg x \right> \in A.}\)

Ciąg takich punktów zbiega do \(\displaystyle{ \left< 0, \arctg x \right>,}\) który może być dowolnym punktem ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0 \} \times \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right).}\) Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ \left< 0, \frac{\pi}{2} \right>, \left< 0, -\frac{\pi}{2} \right> \in \overline{A},}\) więc tak naprawdę

\(\displaystyle{ \{ 0 \} \times \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \subseteq \overline{A}.}\)

P.S. Dla jasności: trzymam się oznaczeń:

\(\displaystyle{ (x, y)}\) - przedział otwarty;
\(\displaystyle{ [x, y]}\) - przedział domknięty;
\(\displaystyle{ \left< x, y \right>}\) - para uporządkowana.

[elodymek]

No faktycznie, jasne, że tak, dzięki.