Całka z 2-formy

[knrdk]

Obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int\int_{ \partial W } (x \mbox{d}y \wedge \mbox{d}z - y \mbox{d}z \wedge \mbox{d}x + z \mbox{d}x \wedge \mbox{d}y)}\)
Gdzie W jest bryłą:
\(\displaystyle{ W = \left\{ \left( x, y, z \right) \in \RR^{3}: x + y + z \le 0, x^{2}+z^{2} \le y \right\}}\), brzeg jest zorientowany dodatnio względem wnętrza.

Problem mam z parametryzacją tego brzegu.

[octahedron]

Mamy paraboloidę i płaszczyznę, więc powierzchnia bryły składa się z dwóch części:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y+z=0\\x^2+z^2=y\end{cases}\\\\
x^2+z^2=-x-z\\\\
\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\\\\
I:\,\begin{cases}x=r\cos\varphi-\frac{1}{2}\\z=r\sin\varphi-\frac{1}{2}\\y=1-r(\sin\varphi+\cos\varphi)\end{cases}\quad II:\,\begin{cases}x=r\cos\varphi-\frac{1}{2}\\z=r\sin\varphi-\frac{1}{2}\\y=r^2-r(\sin\varphi+\cos\varphi)+\frac{1}{2}\end{cases}\\\\
r\in\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right],\,\varphi\in[0,2\pi]}\)

[knrdk]

Dziękuje bardzo za pomoc.

Jeśli kogoś by to interesował to wyszło mi \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{8}}\)