Wyznacz równanie krzywej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
qwertyuio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 5 paź 2011, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 3 razy

Wyznacz równanie krzywej

Post autor: qwertyuio »

Dany jest zbiór trójkątów prostokątnych leżących w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, których przyprostokątne zawarte są w osiach układu współrzędnych. Pole każdego trójkąta jest równe 24. Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez środki przeciwprostokątnych tych trójkątów.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznacz równanie krzywej

Post autor: lukasz1804 »

Końce przeciwprostokątnych mają współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,0),(0,y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\). Ponieważ trójkąty znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych, mamy \(\displaystyle{ xy<0}\). Ponadto na podstawie wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ |xy|=48}\), tj. w myśl powyższego \(\displaystyle{ xy=-48}\).
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wynika, że środki przeciwprostokątnych znajdują się w punktach \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)}\).

Stąd \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{24}{x}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{12}{\frac{x}{2}}\right)}\), więc równanie szukanej krzywej ma postać \(\displaystyle{ y=-\frac{12}{x}}\).
ODPOWIEDZ