Dowód nierówności

[Matt2009]

Witam!
Mam do udowodnienia nierówność dla \(\displaystyle{ n>2, n \in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1} < \sqrt[n]{n}}\)
Po przekształceniu otrzymam:
\(\displaystyle{ \left( n+1\right)^{n} < \left( n\right)^{\left( n+1\right)}}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} < n}\)

Jakim innym sposobem mogę udowodnić tę nierówność oprócz indukcji matematycznej?

[kamil13151]

Równoważnie jest do pokazania: \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n<n}\). Dosyć łatwo jest pokazać, że lewa strona jest rosnąca i zbiega do \(\displaystyle{ e}\). Jaki z tego wniosek?

[Matt2009]

Tzn lewą stronę mogę potraktować jako ciąg i pokazać, że wyraz kolejny jest większy od poprzedniego, a następnie, że jego granica wynosi \(\displaystyle{ e}\), a \(\displaystyle{ e<3}\) ?
Dziękuję za odpowiedź. Są jeszcze jakieś inne sposoby?
Można udowodnić tę nierówność, przenosząc wszystko na jedną stronę i obliczyć pochodną i pokazać, że jest większa od zera?

[kamil13151]

Tzn lewą stronę mogę potraktować jako ciąg i pokazać, że wyraz kolejny jest większy od poprzedniego, a następnie, że jego granica wynosi \(\displaystyle{ e}\), a \(\displaystyle{ e<3}\) ?

Tak.

Są jeszcze jakieś inne sposoby?

Pewnie są

Można udowodnić tę nierówność, przenosząc wszystko na jedną stronę i obliczyć pochodną i pokazać, że jest większa od zera?

Zapewne pochodna przyjaźnie nie będzie wyglądać, raczej łatwo się nie pokaże, że jest nieujemna (ale sprawdź).

[ares41]

Tzn lewą stronę mogę potraktować jako ciąg i pokazać, że wyraz kolejny jest większy od poprzedniego, a następnie, że jego granica wynosi \(\displaystyle{ e}\), a \(\displaystyle{ e<3}\) ?

Tak.

Pozwolę się nie zgodzić. Liczbę \(\displaystyle{ e}\) definiujemy jako granicę wspomnianego ciągu, więc udowadnianie, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} =e}\) nie jest najlepszym pomysłem.

[bartek118]

Tzn lewą stronę mogę potraktować jako ciąg i pokazać, że wyraz kolejny jest większy od poprzedniego, a następnie, że jego granica wynosi \(\displaystyle{ e}\), a \(\displaystyle{ e<3}\) ?

Tak.

Pozwolę się nie zgodzić. Liczbę \(\displaystyle{ e}\) definiujemy jako granicę wspomnianego ciągu, więc udowadnianie, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} =e}\) nie jest najlepszym pomysłem.

Akurat moim zdaniem to zależy. Bo \(\displaystyle{ e}\) można zdefiniować na wiele więcej sposobów, a pozostałe definicje traktować jak twierdzenia.

[ares41]

Oczywiście, jednak powinno jasno wynikać z kontekstu jakimi definicjami się posługujemy.

Tutaj, sądząc po treści zadania, obstawiam stosowanie standardowych (czyt. najbardziej powszechnych ) definicji.