6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: kaszubki » 2 mar 2013, o 14:49

1. Dla dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) określamy ciąg liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_1,x_2,...}\) wzorami: \(\displaystyle{ x_1=a}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1}=2x_n +1}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Niech \(\displaystyle{ y_n=2^{x_n}-1}\).
Wyznaczyć największą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) taką, że dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) wszystkie liczby \(\displaystyle{ y_1,y_2,...,y_k}\) są pierwsze.

2. Czy istnieje taka para funkcji \(\displaystyle{ g,h:\mathbb{R} -> \mathbb{R}}\), że jedyną funkcją \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} -> \mathbb{R}}\) taką, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} f(g(x))=g(f(x)) \wedge f(h(x))=h(f(x))}\) jest identyczność?

3. Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\). \(\displaystyle{ P=AB \cap CD, Q=AD \cap BC, R=AC \cap BD}\). \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PQ}\), a odcinek \(\displaystyle{ MR}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w \(\displaystyle{ K}\).
Wykaż, że okręgi \(\displaystyle{ PKQ}\) i \(\displaystyle{ \omega}\) są styczne.


4. Na płaszczyźnie dane są czworokąty wypukłe\(\displaystyle{ P, P'}\), oraz punkt \(\displaystyle{ O}\), który należy do ich części wspólnej (tzn. wnętrza lub brzegu). Wiemy, że dla każdej prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\), odcinek wspólny \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ P}\) jest dłuższy niż odcinek wspólny \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ P'}\).
Czy może być prawdą, że \(\displaystyle{ \frac{[P']}{[P]}>1,9}\)?

5. Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ k\geq 2}\). Niech \(\displaystyle{ a_1=1}\) oraz dla każdej całkowitej \(\displaystyle{ n\geq 2}\), \(\displaystyle{ a_n}\) będzie najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ x>a_{n-1}}\) spełniającą równanie
\(\displaystyle{ x=1+\sum_{i=1}^{n-1} \left[ \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}} \right]}\)
Wykaż, że każda liczba pierwsza występuje w ciągu \(\displaystyle{ a_i}\).

6. \(\displaystyle{ 2n}\) żetonów umieszczono w wierzchołkach \(\displaystyle{ 2n-}\)kąta foremnego, po jednym w każdym wierzchołku. Operacja polega na wybraniu boku \(\displaystyle{ 2n-}\)kąta i zamianie miejscami żetonów na jego końcach. Przypuśćmy, że każda para żetonów została zamieniona dokładnie raz.
Wykaż, że istnieje bok, który nie został wybrany w żadnej operacji.
Ostatnio zmieniony 2 mar 2013, o 17:51 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 2 mar 2013, o 15:16

tu był blef
Ostatnio zmieniony 2 mar 2013, o 15:39 przez KPR, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1506
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 414 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 2 mar 2013, o 15:27

KPR pisze:?
4:    
?

przecież to nic nie rozstrzyga

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 2 mar 2013, o 15:38

A, tam jest \(\displaystyle{ 1,9}\), a nie \(\displaystyle{ 0,9}\)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1506
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 414 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 2 mar 2013, o 15:45

3:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Swistak » 2 mar 2013, o 20:03

Moje rozwiązania znajdują się tutaj:

1: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2951524 (sry, zły link był tu wcześniej, ale już jest dobry )

-- 2 marca 2013, 22:43 --

3: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=523124

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 3 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 2 mar 2013, o 23:13

3.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1506
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 414 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 00:58

Oildale pisze:Korzystając z tw. Pascala oraz biegunowych łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ Z}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ ABCD}\)
jak to łatwo pokazać?

ponadto, jak już masz że \(\displaystyle{ Z}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) to od razu jest koniec zadania - zastanów się czemu

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 3 mar 2013, o 11:06

5:    

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 3 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 3 mar 2013, o 13:23

Okej, dowód, że \(\displaystyle{ Z}\) leży na \(\displaystyle{ ABCD}\) :
Tu macie rysunek, żeby nie bawić się w określanie konfiguracji, która w tym wypadku nie jest tak bardzo istotna (można sobie dopasować zmieniając oznaczenia). :
http://w821.wrzuta.pl/obraz/27EkDpEcUXJ/konfig

Narazie \(\displaystyle{ Z}\) to przecięcie okręgu z \(\displaystyle{ QP'}\). Weźmy sobie tw. Pascala dla punktów \(\displaystyle{ A,Z,B,Q',P',D}\) (nie patrzcie na kolejność bo wpisałem ją randomowo) i teraz wiemy z tw. Pascala, że takie cosie są współliniowe: \(\displaystyle{ AD \cap ZP'}\), \(\displaystyle{ AB \cap ZQ'}\) oraz \(\displaystyle{ DQ' \cap BP'}\). Pierwszy z tych punktów to \(\displaystyle{ Q'}\) (z definicji punktu \(\displaystyle{ Z}\)). Zauważmy, że biegunowa trzeciego z tych punktów przechodzi przez \(\displaystyle{ R}\), zatem on sam leży na biegunowej \(\displaystyle{ R}\), czyli prostej \(\displaystyle{ PQ}\). Zatem wszystkie trzy punkty leżą na prostej \(\displaystyle{ PQ}\). Zatem proste \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ ZQ'}\) przecinają się w jednym punkcie, którym oczywiście jest punkt \(\displaystyle{ P}\), czyli punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q'}\) oraz \(\displaystyle{ Z}\) leżą na jednej prostej i to jest to co chciałem pokazać.

Teraz już chyba wszystko działa.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1506
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 414 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 13:40

jest ok

zauważ że dokładnie identyczne rozumowanie pokazuje że \(\displaystyle{ PP'}\) oraz \(\displaystyle{ QQ'}\) przecinają się na \(\displaystyle{ \omega}\), czyli to do czego sprowadziłeś tezę

poza tym, pobieżnie przeczytałem dalszą część rozwiązania i nie wygląda ono najlepiej - stosujesz jakieś przekształcenie afiniczne, a potem twierdzisz, że punkty \(\displaystyle{ ABCD}\) wciąż leżą na okręgu - to nie musi być prawda!

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 3 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 3 mar 2013, o 17:19

To może przeczytaj uważniej. Przekształcenie afiniczne zostało użyte, aby pokazać, że \(\displaystyle{ Z, Z', R,M}\) są współliniowe, a przecież punkty \(\displaystyle{ Z, Z'}\) są definiowane jako przecięcia prostych, a \(\displaystyle{ R, M}\) jako środki podstaw jakiegoś trapezu, więc żaden okrąg mi nie jest potrzebny w tej konfiguracji.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1506
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 414 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 17:34

no rzeczywiście, jest tak jak mówisz

dla mniej wprawionych czytelników dodam, że po drodze niepostrzeżenie został przemycony fakt, że \(\displaystyle{ R}\) jest środkiem \(\displaystyle{ P'Q'}\) - to łatwo uzyskać z faktu że \(\displaystyle{ PQ}\) jest biegunową \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ PQ \parallel P'Q'}\)

a to, że \(\displaystyle{ Z,Z',M,R}\) są współliniowe można uzyskać z twierdzenia Talesa

tak czy siak, Twoje rozwiązanie jest świetne

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Ponewor » 5 mar 2013, o 19:33

A ile było czasu na te zadania? Bo chcę się zamknąć w pokoju o chlebie i wodzie, przysiąść i zaatakować.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Swistak » 5 mar 2013, o 20:10

4,5h

ODPOWIEDZ