Operator Laplace'a

[quo]

Hej, mam problem z zadaniem dla kolegi, co wiąże się z tym, że nie wiem do końca o co chodzi.

Niech \(\displaystyle{ \Delta}\) to operator Laplace'a, a \(\displaystyle{ f(x)=\sin(2x)\cos(x)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ e^{\Delta it} f(x)}\).

[yorgin]

Czy zadanie jest dobrze napisane? Operator Laplace'a jest sumą drugich pochodnych cząstkowych, więc nie rozumiem, jak tu można cokolwiek takiego policzyć.

[quo]

To samo mu mówiłem. Twierdzi, że jest ok. Wspomniał też, że może to się wiązać z rozbijaniem na szeregi (?) i podał twierdzenie, które powinno się do tego odnosić.

Tw. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie operatorem hermitowskim na przestrzeni \(\displaystyle{ H}\), której funkcje własne tworzą bazę tej pni, niech \(\displaystyle{ F(x)}\) będzie funkcją rzeczywistą bądź zespoloną taką, że \(\displaystyle{ F(\lambda_n)}\) jest zdefiniowana. Wtedy: \(\displaystyle{ F(L)f= \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot F(\lambda_n) \cdot \phi_n}\).

Z tego co wiem, to \(\displaystyle{ \phi_n}\) są funkcjami własnymi operatora \(\displaystyle{ L}\). Reszta owiana jest tajemnicą.

[yorgin]

Wygląda to jak wariant twierdzenia spektralnego. Nie wiem, jak ma być użyteczne w zadaniu, którego treści nie rozumiem...

[quo]

Dostarczono mi oryginalną treść zadania...

Rozważyć operator Laplace'a \(\displaystyle{ -\Delta}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ L^2(0,\pi)}\) z warunkami brzegowymi Dirichleta, obliczyć \(\displaystyle{ e^{-it\Delta} f}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=\sin(2x)\cos(x)}\).

Czy teraz ma to jakiś sens? Sam nie wiem jak się za to zabrać.

[Wasilewski]

Łatwo sprawdzić, że funkcje \(\displaystyle{ \sin(kx)}\) są funkcjami własnymi operatora \(\displaystyle{ -\bigtriangleup}\) i rozpinają \(\displaystyle{ L^{2}(0,\pi)}\). Wobec tego, żeby skorzystać z twierdzenia spektralnego, należy rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f}\) w szereg Fouriera.