Czy mam tutaj do czynienia z symbolem nieoznaczonym?

[Kaef]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tg x}\right)}\)

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}\left( \frac{1}{\sin x}- \frac{1}{\tg x} \right)= \lim_{ x\to0 }\left( \frac{1}{\sin x}- \frac{\cos x}{\sin x} \right)= \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos x}{\sin x}=\left[ \frac{0}{0} \right]}\) , więc tak.

[Kaef]

Jak więc się go pozbyć?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\frac{\cos 0-\cos x}{x}}{\frac{\sin x}{x}}\to \frac{0}{1}=0}\)

[Kaef]

Dzięki.
A mogę jeszcze prosić o zerknięcie na przykład:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to\frac{\pi}{2} } \left( \frac{\pi}{2} - x\right)\tg x}\)?

Tutaj widzę symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right]}\), gdy rozpiszę tangensa na sinusa przez cosinusa, skoro tangens \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) nie istnieje, poprawnie? I jak w tym przypadku się go pozbyć? Z granicy specjalnej nie bardzo jest jak, bo x nie dąży do 0, więc?

[rafalpw]

Tutaj wcale nie ma symbolu \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0} \right]}\) tylko \(\displaystyle{ \left[ 0 \cdot \infty \right]}\)

[Kaef]

Okej, czyli jeżeli wartość w tym punkcie dla tangensa nie istnieje to traktuje się to jako \(\displaystyle{ \infty}\)?

[Mariek]

Zamienić na sinus przez cosinus a następnie z de l'Hospitala, wychodzi ładnie.

[Kaef]

Problem w tym, że nie mogę tutaj użyć de l'Hospitala

[yorgin]

Tym razem sama wskazówka:

\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}-x\right) \tan x=\left( \frac{\pi}{2}-x\right) \frac{\sin x}{\cos x}=}\)

\(\displaystyle{ =\left( \frac{\pi}{2}-x\right) \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2}-x\right) }{\sin \left( \frac{\pi}{2}-x\right) }=}\)

\(\displaystyle{ =\cos \left( \frac{\pi}{2}-x\right) \cdot \frac{\left( \frac{\pi}{2}-x\right) }{\sin \left( \frac{\pi}{2}-x\right) }}\)