Granica funkcji dwóch zmiennych

[karolinaa1231]

Prosze o pomoc

1. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\(0,0)} \frac{\tg(x \cdot y)}{x}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\(0,0)}(x^2 \cdot y^2) \cdot \sin \frac{1}{x \cdot y}}\)

Dziekuje

[Chromosom]

1. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\tg(xy)}{x}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\tg(xy)}{xy}\cdot y}\)

2. \(\displaystyle{ \left|\sin\frac{1}{xy}\right|\le 1}\)

[kkate559]

i co dalej trzeba z tym zrobic?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\tg(xy)}{xy} =1}\)

\(\displaystyle{ \left| (x^2 \cdot y^2) \cdot \sin \frac{1}{x \cdot y}\right|\leq x^2y^2}\)

[kkate559]

skad wiadomo, że
\(\displaystyle{ \left|( x^{2} \cdot y ^{2} \cdot \sin \frac{1}{x \cdot y} \right| \le x^{2} \cdot y ^{2}}\)

[yorgin]

Stąd, że sinus jest ograniczony:

2. \(\displaystyle{ \left|\sin\frac{1}{xy}\right|\le 1}\)

[kkate559]

granica z pierwszego przykladu z tangensem jest rowna zero?

[yorgin]

Tak.

[kkate559]

a jesli chodzi o drugi przyklad to jezeli wiem, ze funkcja jest ograniczona przez \(\displaystyle{ x^{2} \cdot y^{2}}\) tzn, ze cala ta granica tez dazy do zera?

[yorgin]

Tak.

[kkate559]

a czy \(\displaystyle{ x^{2} \cdot y^{2}}\) nie powinnam zapisac w wartosci bezwzglednej? tzn:
\(\displaystyle{ \left| x\right| ^{2} \cdot \left| y\right| ^{2}}\)

[yorgin]

Wszystko jedno.

\(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\)