Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

diodamen · Post autor: **diodamen** » 23 lut 2013, o 21:19

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{4} +y^2=z}\) ; \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x^2}{4}+y^2 }=z}\)

Liczę całkę potrójną po objętości, stosując podstawienie walcowe, w granicach
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} <r<\\0<\varphi<2\pi\\0<z<1 \end{array}}\)
i właśnie nie wiem w jakich granicach będzie r. Mógłby mi ktoś pomóc?
I jeszcze jedno pytanie jakobian będzie wynosił 2r?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 lut 2013, o 21:37

Wiesz w ogóle, jak wygląda Twoja bryła, której objętość poszukujesz?

diodamen · Post autor: **diodamen** » 23 lut 2013, o 21:41

to będzie stożek i walec, a mamy policzyć tą objętość co powstaje między nimi

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 lut 2013, o 21:48

Ja tu widzę paraboloidę oraz stożek.

diodamen · Post autor: **diodamen** » 23 lut 2013, o 21:54

racja, pomyliłem się, będzie paraboloida i stożek. Więc te granice całkowania co wcześniej zapisałem to są źle?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 lut 2013, o 22:09

Jeśli pozostajesz przy walcowych, to na pewno \(\displaystyle{ z\in [0,1]}\), ale tu jest coś więcej, bo \(\displaystyle{ z}\) jest różne na różnych wysokościach nad płaszczyzną \(\displaystyle{ OXY}\). Kąt się zgadza. No i jest jeszcze promień.

diodamen · Post autor: **diodamen** » 23 lut 2013, o 22:13

czyli jak powinienem wyznaczyć promień? bo kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać a mógłbyś mi jeszcze powiedzieć czy jakobian będzie równy 2r?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 lut 2013, o 22:21

Wybacz, ale nie napisałeś, jakie robisz podstawienie, więc skąd mogę to wiedzieć?

\(\displaystyle{ 2r}\) wyjdzie, gdy podstawisz

\(\displaystyle{ x=2r\cos \varphi\\
y=r\sin\varphi}\)

A co do promienia - jest on różny w zależności od wysokości.

Najlepiej jest sobie ustalić wysokość \(\displaystyle{ z=z_0}\) i zobaczyć, kiedy punkt z bryły leży między dwiema powierzchniami na tej samej wysokości. Tu jest o tyle łatwo, że dostajesz od razu, że \(\displaystyle{ r\in [z_0,\sqrt{z_0}]}\). Polecam zrobić rysunek przekroju, i mam nadzieję, że się nie mylę, gdyż wszystko to piszę całkowicie z głowy. Promień musi być dalej od powierzchni stożka i bliżej niż paraboloida.