rownania prostych

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 22 lut 2013, o 21:25

Dane sa proste rownolegle \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) a prosta l przez punkt \(\displaystyle{ B=(3,2)}\) Odcinek wyznaczony przez punkty przeciecia tych prostych z osia \(\displaystyle{ Ox}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ 2}\). Wyznacz rownania prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Rozwaz dwa przypadki

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 22 lut 2013, o 21:53

Zamiast rozważać proste postaci \(\displaystyle{ y = ax + b}\) rozważ sobie proste postaci \(\displaystyle{ x = cy +d}\) (po prostu przekręcasz obrazek o 90 stopni). Wtedy otrzymany układ dwóch równań powinien być łatwy do rozwiązania.

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 22 lut 2013, o 22:05

nie czaje

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 22 lut 2013, o 22:16

No np. jak masz prostą \(\displaystyle{ y = 3x -1}\) to równie dobrze można powiedzieć że \(\displaystyle{ x = \frac{1}{3}y + \frac{1}{3}}\)

Jak tak przekręcisz to będziesz od razu wiedział że wyrazy wolne różnią się o dwa a współczynniki kierunkowe obu prostych są takie same (bo są równoległe). To już będzie łatwo rozwiązać.

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 22 lut 2013, o 22:29

no i wychodzi jeden przypadek , zreszta nie wiem czy to dobrze. A skad wziac drugi?

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 22 lut 2013, o 22:34

Jak napisałem że wyrazy wolne różnią się o dwa to nie napisałem który jest większy...

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 22 lut 2013, o 22:39

no spoko i wychodza dwa rownania dwoch prostych. TO jest jeden przypadek. A teraz trzeba dwa inne rownania dwoch prostych.

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 22 lut 2013, o 22:42

Pokaż jak to liczysz.

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 22 lut 2013, o 23:02

\(\displaystyle{ -2c+d+2=3 \\
-c+d=1}\)

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 22 lut 2013, o 23:05

Może przecież też być:
\(\displaystyle{ -2c + d -2 = 3}\)
\(\displaystyle{ -c + d = 1}\)

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 22 lut 2013, o 23:10

Ponieważ proste k i l są równoległe, więc mają ten sam współczynnik kierunkowy a. Ich równania to:

\(\displaystyle{ k \\ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ l \\ y=ax+c}\)

Punkt A (1,1) spełnia równanie prostej k, a punkt b - równanie prostej l. Mamy więc

\(\displaystyle{ y_{A}=ax_{A}+b}\)

\(\displaystyle{ y_{B}=ax_{B}+c}\)

skąd
1)
\(\displaystyle{ b= y_{A}-a x_{A}}\)
2)
\(\displaystyle{ c= y_{B}-a x_{B}}\)

Z treści zadania wiemy, że miejsca zerowe obu funkcji liniowych odległe są od siebie o 2, czyli

\(\displaystyle{ c-b=2}\)

zatem (odejmujemy stronami 1) od 2))

\(\displaystyle{ y_{B}-y_{A}-x_{B}+x_{A}=2}\)

skąd

\(\displaystyle{ a= \frac{y_{B}-y_{A}-2}{x_{B}}-x_{A}}\)

Znajdujemy b i c wstawiając znalezione a do 1) i 2)

I mamy pierwsze rozwiązanie. A nad drugim muszę pomyśleć...

octahedron · Post autor: **octahedron** » 22 lut 2013, o 23:26

Punkty przecięcia prostych z osią \(\displaystyle{ OX}\) to \(\displaystyle{ C=(x,0)}\) i \(\displaystyle{ D=(x+2,0)}\).

\(\displaystyle{ 1)\,k\parallel l\Rightarrow \vec{AC}\parallel\vec{BD}\Rightarrow [x-1,-1]\parallel [x-1,-2]\Rightarrow 2(x-1)=x-1\Rightarrow x=1\\\\
2)\,k\parallel l\Rightarrow \vec{AD}\parallel\vec{BC}\Rightarrow [x-3,-2]\parallel [x+1,-1]\Rightarrow x-3=2(x+1)\Rightarrow x=-5}\)

no i teraz równanie prostej przez dwa punkty

seba1494 · Post autor: **seba1494** » 23 lut 2013, o 22:38

ta metoda tez zle wychodzi. Zrobilem juz inna metoda i wyszlo. Dzieki

octahedron · Post autor: **octahedron** » 24 lut 2013, o 18:37

Jak źle? Nawet na oko z rysunku widać, że dobrze.