Kolarze i spotkanie

kubajunior · Post autor: **kubajunior** » 20 lut 2013, o 09:37

Witam!
Nie wiem jak napisać równania pozwalające rozwiązać to zadanie:

Z miasta \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) odległych o \(\displaystyle{ 119}\)km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj kolarze, przy czym drugi kolarz startuje w dwie godziny po wyjeździe pierwszego. Pierwszy kolarz przebywa w ciągu pierwszej godziny \(\displaystyle{ 20}\)km, a w każdej następnej o \(\displaystyle{ 2}\) mniej, niż w poprzedniej. Drugi kolarz przebywa w pierwszej godzinie \(\displaystyle{ 10}\)km, a w każdej następnej godzinie o \(\displaystyle{ 3}\) więcej, niż w poprzedniej. Po ilu godzinach spotkają się kolarze w jakiej odległości od miasta \(\displaystyle{ B}\)?

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 20 lut 2013, o 17:15

Lepiej się tu nie pakować w tradycyjne metody do zadań prędkość-droga-czas.
Kolejne ilości przebytych km/h to ciągi arytmetyczne, gdzie: drugi kolarz - ciąg n-wyrazowy, pierwszy kolarz - n+2-wyrazowy. Dla uproszczenia przyjęłam, że oba są n-wyrazowe, czyli dla pierwszego kolarza utworzyłam ciąg rozpoczynający się od tego, co przejechał w trzeciej godzinie (\(\displaystyle{ a_{1}=16}\)). Łatwo zauważyć, że n to jednocześnie liczba godzin, a suma sum ciągów - droga, przy której odliczono to, co pierwszy kolarz przejechał w czasie 'samotnej' dwugodzinnej podróży.
Ad remum:
\(\displaystyle{ 119-38= \frac{16+16+(n-1) \cdot (-2)}{2} \cdot n+ \frac{10+10+(n-1) \cdot 3}{2} \cdot n}\)
Do tego założenia na n. A że delta wychodzi cacy, to się nie martwimy, że spotkali się nie w pełnej godzinie.
Spotkali się po trzech godzinach od wyruszenia drugiego kolarza.
Odległość od B to oczywiście droga przejechana przez drugiego, którą wyliczymy z wzoru na sumę ciągu.

kubajunior · Post autor: **kubajunior** » 20 lut 2013, o 20:45

Hmm coś nie tak wyszło, bo odpowiedzi mowią o pięciu godzinach i odległości \(\displaystyle{ 39}\)km od miasta \(\displaystyle{ B}\).

Jak to rozwiązać takimi klasycznymi metodami?

Oliwik · Post autor: **Oliwik** » 20 lut 2013, o 21:11

Ja przy takich zadaniach rozrysowuję osie drogi i czasu, a także operuję na "iksach" oraz wzorach \(\displaystyle{ v, s, t.}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lut 2013, o 21:12

Klasycznie - rób na palcach.

\(\displaystyle{ 119-(20+18) - \left((10+16)+(13+14)+(16+12)\right)=0}\)

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 20 lut 2013, o 22:19

Wszystko dobrze wyszło 3 h od wyruszenia drugiego, 5 h od wyruszenia pierwszego, więc kwestia sporna co uznać za czas podróży. Odległość także wyszła mi 39.

EDIT: Klasyczną metodą to się zakręcisz w ilości niewiadomych. Zadanie jest nietypowe właśnie ze względu na tą zmieniającą się prędkość, więc wystarczy pogłówkować i skorzystać z własności ciągów. Pozdrawiam