Największy wyraz ciągu

[PaulaRMA]

Hej, proszę o pomoc w zadaniu. Wiem, że trzeba obliczyć \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) ale jednak nadal mi chyba nie wychodzi. Jakby ktoś mógł wrzucić swoje obliczenia, żebym mogła porównać i wykryć błąd to będę wdzięczna!
Wyznacz największy wyraz ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) określonego wzorem \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2n}{n^{2}+100}}\)

[miodzio1988]

Pokaz jak liczysz

[PaulaRMA]

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika (bez obliczania wyrażeń w liczniku) w pierwszej częsci licznika mam \(\displaystyle{ (2_{n}+1)(n^2+100)}\) i zastanawiam się czy drugi nawias rozbijać na wzór skróconego mnożenia, wychodzi mi skomplikowane wyrażenie i pod koniec już się gubię.

[dramacik]

Łatwiej niż rachunkiem różnicowym będzie rozszerzyć dziedzinę na wszystkie liczby rzeczywiste, obliczyć pochodną
\(\displaystyle{ a'=\frac{200-2n^2}{(n^2+100)^2}=\frac{2(10-n)(10+n)}{(n^2+100)^2}}\)
i ponieważ funkcja nie ma żadnych osobliwości, granice w nieskończonościach są zerem i \(\displaystyle{ a}\) ma maksimum lokalne w \(\displaystyle{ n=10}\), które jest liczbą całkowitą, to największym wyrazem wyjściowego ciągu jest \(\displaystyle{ a_{10}=\frac{1}{10}}\)

[PaulaRMA]

Tak w sumie łatwiej, ale dlaczego a ma maksimum lokalne w n=10 ? ;>

[dramacik]

ponieważ pochodna jest w tym punkcie równa \(\displaystyle{ a'(10)=0}\), wiemy że \(\displaystyle{ a}\) ma tam ekstremum; żeby stwierdzić że to faktycznie maksimum, trzeba zbadać znaki pochodnej w sąsiedztwie punktu \(\displaystyle{ n=10}\). I ponieważ znak pochodnej zależy tylko od wartości licznika (mianownik jest wszędzie dodatni), rysujemy sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ (10-n)(10+n)=-n^2+100}\) z którego widać, że \(\displaystyle{ a'}\) w lewym sąsiedztwie jest dodatnia, a w prawym ujemna.

[Dasio11]

Łatwiej niż rachunkiem różnicowym będzie rozszerzyć dziedzinę na wszystkie liczby rzeczywiste, obliczyć pochodną[...]

W pełnym podliczeniu jest to sposób dużo bardziej skomplikowany, na czym cierpi nie tylko elegancja rozwiązania.