Ekstrema lokalne funkcji

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 12:43

To dlatego że trzeba określić dziedzinę na początku zadania tak? czyli \(\displaystyle{ y>0}\) (pierwiastek) tak?

Więc mam punkt podejrzany o ekstremum \(\displaystyle{ P1 = ( 3, \frac{9}{4} )}\)

Liczę pochodnę II rzędu:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)

---------
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) - dalej nie wiem jak to rozbić, ponieważ wiem że jest to pochodna mieszana i powinienem dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) i nie potrafię, mógłby ktoś pomóc?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 17:15

sebciq pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)

... i powinienem dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) i nie potrafię, mógłby ktoś pomóc?

Przecież z tego (początek cytatu) masz to co chcesz uzyskać.

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 21:12

Tak, ale chciałbym sam do tego dojść, a stanąłem w tym miejscu i chciałbym przyrównać te dwie pochodne mieszane, żeby wyszły takie same

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 21:16

Pisałeś, że Ci nie idzie.

Dlatego podałem z czego masz liczyć pochodną (drugą) po y-greku.

Jak chcesz sam to nie pisz postów.

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 21:35

No to się chyba nie zrozumieliśmy bo drugą pochodną po y zacząłem liczyć jak powyżej, pochodne mieszane mi się nie zrównały i chcę aby ktoś powiedział dlaczego, jeśli jest jakiś błąd to powiedział w którym miejscu, bo wiem że muszą się równać sobie.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 21:42

sebciq pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\)

Nie wiem z czego to liczysz.
Dlatego pokazałem z czego masz robić.

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 21:48

z tego (zgodnie z tym co teraz mam zrobić) policzylem po x:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
czyli:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)

a z tego chcialem po y:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)

i doszedlem do tego przy liczeniu pochodnej II rzedu (po Y):

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) a powinna mi sie rownac z \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 21:57

Ale ostatnią po Y masz liczyć z pierwszej linijki posta (ostatniego).

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 22:02

Już nic z tego nie rozumiem...
Pochodne II rzędu z pochodnej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
są obliczone tutaj:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)

--
Pochone II rzędu z pochodnej Y nie powinny być liczone z tego 2 wzoru (pochodnej I rzędu)?? bo przecież powyżej mam rozwiązania pochodnych II rzędu z tego wzoru co niby teraz mam znów obliczyć...

Schemat mówi o tym że z każdej pochodnej I rzędu w 1 etapie zadania(gdzie szukamy punktow podejrzanych o ekstremum) mają wyjść po dwie pochodne II rzędu (w 2 etapie gdzie mamy sprawdzic jakie to ekstremum i czy istnieje)...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 22:10

Pierwsza linijka jest po x-sie.
Zatem drugą po x-sie z niej liczysz; i drugą po y-greku Aby mieć po xy.

Z pierwszej po y-greku liczysz drugą po y-greku i drugą po x-sie (aby mieć po yx).

To, że będą te (xy i yx) jednakowe to fakt.

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 22:13

tak więc po X-sie mam już obliczone więc dlaczego mam nadal korzystać z tego wzoru (pierwszy w ostatnim moim poście) jak powinienem korzystać teraz z \(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{y} } - 2}\) (aby policzyć po Y-greku) ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2013, o 22:18

Popełniasz mały błąd.

Z pierwszej po x-sie masz liczyć drugą po x-sie i drugą po y-greku.

Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.

sebciq · Post autor: **sebciq** » 19 lut 2013, o 22:29

Z pierwszej po x-sie masz liczyć drugą po x-sie i drugą po y-greku.

czyli to co powyżej zrobiłem.

Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y} = \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{y} = \frac{ \sqrt{y} }{y} = \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) - ok chyba sam zauważyłem ten błąd..

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial y}= \frac{-x}{2 \sqrt{y ^{3} } } }}\)

Po prostu dziwiłem się dlaczego każesz mi liczyć z pochodnej X-owej nadal jak tam było w porządku, ale wielkie dzięki.