[Planimetria] Okrąg i styczne

[Mszak]

Proszę o pomoc w zadanku 68 ze zbioru Pompego. Oto treść:

Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest cięciwa okręgu o równoległa do prostej \(\displaystyle{ k}\). Styczna do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) przecina prosta \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\). Odcinek \(\displaystyle{ BC}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ DE}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na dwie równe części.

[mac9410]

według nie to trzeba najpierw wykazać że trójkąt ADB jest równoboczny , a później to już jakoś pójdzie

[Vax]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ DE}\) tnie prostą \(\displaystyle{ AB}\) w \(\displaystyle{ X}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ \angle EBX = \angle ECD = \angle EDB}\), skąd \(\displaystyle{ \triangle XEB \sim \triangle XBD}\), czyli \(\displaystyle{ |XA|^2 = |XE|\cdot |XD| = |XB|^2 \ \ \mathbb{QED}}\)

[Mszak]

\(\displaystyle{ ADB}\) nie musi być równoboczny. Dzięki Vax.

[porfirion]

Śmieszna sprawa. Pierwszych pięć zadań z tego rozdziału idzie od ręki z potęgi punktu. (Włącznie z omawianym)

Ukryta treść:    

zauważamy te same kąty co u Vaxa, skąd \(\displaystyle{ AB}\) jest styczną do okręgu \(\displaystyle{ BED}\), a \(\displaystyle{ DE}\) jest osią potęgową okręgów z rysunku.

[jakub_jabulko]

Śmieszna sprawa. Potęga punktu to nic innego jak trójkąty podobne w okręgu.