Ekstrema lokalne funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
To dlatego że trzeba określić dziedzinę na początku zadania tak? czyli \(\displaystyle{ y>0}\) (pierwiastek) tak?
Więc mam punkt podejrzany o ekstremum \(\displaystyle{ P1 = ( 3, \frac{9}{4} )}\)
Liczę pochodnę II rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)
---------
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) - dalej nie wiem jak to rozbić, ponieważ wiem że jest to pochodna mieszana i powinienem dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) i nie potrafię, mógłby ktoś pomóc?
Więc mam punkt podejrzany o ekstremum \(\displaystyle{ P1 = ( 3, \frac{9}{4} )}\)
Liczę pochodnę II rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)
---------
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) - dalej nie wiem jak to rozbić, ponieważ wiem że jest to pochodna mieszana i powinienem dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) i nie potrafię, mógłby ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Przecież z tego (początek cytatu) masz to co chcesz uzyskać.sebciq pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
... i powinienem dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) i nie potrafię, mógłby ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Tak, ale chciałbym sam do tego dojść, a stanąłem w tym miejscu i chciałbym przyrównać te dwie pochodne mieszane, żeby wyszły takie same
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
No to się chyba nie zrozumieliśmy bo drugą pochodną po y zacząłem liczyć jak powyżej, pochodne mieszane mi się nie zrównały i chcę aby ktoś powiedział dlaczego, jeśli jest jakiś błąd to powiedział w którym miejscu, bo wiem że muszą się równać sobie.
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Nie wiem z czego to liczysz.sebciq pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\)
Dlatego pokazałem z czego masz robić.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
z tego (zgodnie z tym co teraz mam zrobić) policzylem po x:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
a z tego chcialem po y:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)
i doszedlem do tego przy liczeniu pochodnej II rzedu (po Y):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) a powinna mi sie rownac z \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
a z tego chcialem po y:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)
i doszedlem do tego przy liczeniu pochodnej II rzedu (po Y):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}= \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{ (\sqrt{y}) ^{2} } = \frac{ \sqrt{y}- \frac{x}{2 \sqrt{y} } }{y}}\) a powinna mi sie rownac z \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Już nic z tego nie rozumiem...
Pochodne II rzędu z pochodnej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
są obliczone tutaj:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
--
Pochone II rzędu z pochodnej Y nie powinny być liczone z tego 2 wzoru (pochodnej I rzędu)?? bo przecież powyżej mam rozwiązania pochodnych II rzędu z tego wzoru co niby teraz mam znów obliczyć...
Schemat mówi o tym że z każdej pochodnej I rzędu w 1 etapie zadania(gdzie szukamy punktow podejrzanych o ekstremum) mają wyjść po dwie pochodne II rzędu (w 2 etapie gdzie mamy sprawdzic jakie to ekstremum i czy istnieje)...
Pochodne II rzędu z pochodnej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)
są obliczone tutaj:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x ^{2} }= -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial x}= \frac{1}{ \sqrt{y} }}\)
--
Pochone II rzędu z pochodnej Y nie powinny być liczone z tego 2 wzoru (pochodnej I rzędu)?? bo przecież powyżej mam rozwiązania pochodnych II rzędu z tego wzoru co niby teraz mam znów obliczyć...
Schemat mówi o tym że z każdej pochodnej I rzędu w 1 etapie zadania(gdzie szukamy punktow podejrzanych o ekstremum) mają wyjść po dwie pochodne II rzędu (w 2 etapie gdzie mamy sprawdzic jakie to ekstremum i czy istnieje)...
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Pierwsza linijka jest po x-sie.
Zatem drugą po x-sie z niej liczysz; i drugą po y-greku Aby mieć po xy.
Z pierwszej po y-greku liczysz drugą po y-greku i drugą po x-sie (aby mieć po yx).
To, że będą te (xy i yx) jednakowe to fakt.
Zatem drugą po x-sie z niej liczysz; i drugą po y-greku Aby mieć po xy.
Z pierwszej po y-greku liczysz drugą po y-greku i drugą po x-sie (aby mieć po yx).
To, że będą te (xy i yx) jednakowe to fakt.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
tak więc po X-sie mam już obliczone więc dlaczego mam nadal korzystać z tego wzoru (pierwszy w ostatnim moim poście) jak powinienem korzystać teraz z \(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{y} } - 2}\) (aby policzyć po Y-greku) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Popełniasz mały błąd.
Z pierwszej po x-sie masz liczyć drugą po x-sie i drugą po y-greku.
Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.
Z pierwszej po x-sie masz liczyć drugą po x-sie i drugą po y-greku.
Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 20 wrz 2009, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 52 razy
Ekstrema lokalne funkcji
Z pierwszej po x-sie masz liczyć drugą po x-sie i drugą po y-greku.
czyli to co powyżej zrobiłem.
Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y} = \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{y} = \frac{ \sqrt{y} }{y} = \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) - ok chyba sam zauważyłem ten błąd..
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial y}= \frac{-x}{2 \sqrt{y ^{3} } } }}\)
Po prostu dziwiłem się dlaczego każesz mi liczyć z pochodnej X-owej nadal jak tam było w porządku, ale wielkie dzięki.
czyli to co powyżej zrobiłem.
Z pierwszej po y-greku masz liczyć drugą po y-greku i drugą po x-sie.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y} = \frac{(x)' \sqrt{y}-x( \sqrt{y})' }{y} = \frac{ \sqrt{y} }{y} = \frac{1}{ \sqrt{y} }}\) - ok chyba sam zauważyłem ten błąd..
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial y \partial y}= \frac{-x}{2 \sqrt{y ^{3} } } }}\)
Po prostu dziwiłem się dlaczego każesz mi liczyć z pochodnej X-owej nadal jak tam było w porządku, ale wielkie dzięki.