Dowód nierówności dla dodatnich a i b

[pandyzio]

Witam,
Jak to zrobić:

Liczy a i b są dodatnie. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a ^{2} +b ^{2} }{2} \cdot \frac{a ^{3}+b ^{3} }{2} \le \frac{a ^{6}+b ^{6} }{2}}\)
?

Możliwe, że trzeba użyć nierówności o średnich, ale nie widzę tego.

Proszę o pomoc:)

[Vax]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\cdot \frac{a^2+b^2}{2} \le \frac{a^3+b^3}{2}}\) a potem \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3}{2}\cdot \frac{a^3+b^3}{2} \le \frac{a^6+b^6}{2}}\)

Są to szczególne przypadki nierówności Czebyszewa.

[pandyzio]

A dałoby się to zrobić z Cauchy'ego?
Tego co napisałeś za bardzo nie widzę.

[Vax]

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\frac{a^2+b^2}{2} \le \frac{a^3+b^3}{2} \iff 2(a^3+b^3) \ge (a+b)(a^2+b^2) \iff (a-b)^2(a+b) \ge 0}\)

Podobnie dowodzisz drugą nierówność, ewentualnie piszesz, że jest to nierówność między średnią kwadratową a arytmetyczną.