Punkt wewnątrz trójkąta

[piasek101]

Przedłużałem BD do przecięcia z AC i był dodatkowy równoramienny trójkąt. Skoro z obliczeń (sinusów) wychodzi to metoda ok (ja do końca - jak widać - nie przeliczałem).

[kinia7]

Zrobiłam dokładny rysunek i zmierzyłam kąt

Ale czy to jest właściwy sposób rozwiązania takiego zadania? Przecież na kartkówce nie mam możliwości zrobienia tak dokładnego rysunku, że z niego można odczytać wartość szukanego kąta.

[anna_]

O żesz przecież chciałam tylko sprawdzić, czy kąt jest, jak to pisał piasek101, "ładny"

Licz z sinusów lub z podpowiedzi timona92

[norwimaj]

Zdecydowanie przychylam się do metody timona92. Chociaż mi wygodniej na to patrzeć, że odbijamy punkt \(\displaystyle{ D}\) względem \(\displaystyle{ BC}\) i zauważamy, że okrąg opisany na \(\displaystyle{ BD'C}\) ma środek w \(\displaystyle{ A}\), ale to oczywiście żadna różnica.

Dalej widzimy, że \(\displaystyle{ BDD'}\) jest równoboczny, więc średnica zawarta w prostej \(\displaystyle{ AD}\) tnie go na pół. Ostatecznie wychodzi, że półprosta \(\displaystyle{ BD}\) dzieli szukany kąt na kąty o miarach \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ 40^{\circ}}\), czyli w sumie \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\).

[timon92]

główna trudność zadania to odnaleźć jakiś trójkąt równoboczny, prawie wszystkie zadania tego typu idą w ten sposób

inne rozwiązanie bezsinusowe: niech \(\displaystyle{ E}\) to odbicie \(\displaystyle{ D}\) względem symetralnej odcinka \(\displaystyle{ BC}\), wówczas \(\displaystyle{ \triangle ADE}\) jest równoboczny oraz \(\displaystyle{ DE \parallel BC}\) zatem \(\displaystyle{ \angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = 60^\circ + \angle DCB = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ}\)

[kinia7]

wówczas \(\displaystyle{ \triangle ADE}\) jest równoboczny

Mógłbyś wykazać, z czego taki wniosek? Wiemy jedynie, że ten trójkąt jest równoramienny

[bb314]

Zrobiłam dokładny rysunek i zmierzyłam kąt

Ale czy to jest właściwy sposób rozwiązania takiego zadania? Przecież na kartkówce nie mam możliwości zrobienia tak dokładnego rysunku, że z niego można odczytać wartość szukanego kąta.

Mam nadzieję, że mój sposób na to zadanie Cie zadowoli.


\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB=\sphericalangle ABC=\frac12(180^o-\sphericalangle BAC)\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sphericalangle ACB=50^o}\)
prowadzę dwusieczną \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC\ \ \ AE\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sphericalangle CAF=40^o}\)
\(\displaystyle{ AE}\) należy do symetralnej boku \(\displaystyle{ BC}\)
\(\displaystyle{ BD}\) przedłużam do przecięcia z \(\displaystyle{ AE}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\)
\(\displaystyle{ CF=BF}\) bo \(\displaystyle{ F}\) należy do symetralnej odcinka \(\displaystyle{ BC\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sphericalangle FCE=\sphericalangle FBE=\beta=30^o\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sphericalangle DCF=\sphericalangle FCE-\alpha\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sphericalangle DCF=20^o}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle ACF=\sphericalangle ACB-\sphericalangle FCE=50^o-30^o\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sphericalangle ACF=20^o}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle CDF=\alpha+\beta\ \ (}\)jako kąt zewnętrzny \(\displaystyle{ \Delta CBD)\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sphericalangle CDF=40^o}\)

wobec czterech ostatnich kątów „na niebiesko” i wspólnego boku \(\displaystyle{ CF}\)
\(\displaystyle{ \Delta ACF=\Delta DCF\ \ \green \Rightarrow \black\ \ AC=DC\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \Delta ACD}\) jest równoramienny \(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \gamma=\frac12\left(180^o-\sphericalangle ACD\right)\ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \red\ \ \gamma=\sphericalangle ADC=70^o}\)

[wujomaro]

Tutaj będziesz miała pokazane czemu trójkąr \(\displaystyle{ ADE}\) jest równoboczny, tak jak mówił timon92 i od razu czemu szukany kąt to \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\).

Trójkąr dowód kąt3.png (14.1 KiB) Przejrzano 1284 razy

Możey zapisać następującą równość dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\).
\(\displaystyle{ 20^{\circ}+20^{\circ}+40^{\circ}+ \left( 40^{\circ}-x\right) +\left( 80^{\circ}- 2x\right)+10^{\circ}=180^{\circ} \\ 210^{\circ} - 3x = 180^{\circ} \\ x =10^{\circ}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \angle EDA = 80^{\circ}- 2x = 60^{\circ} \\ \angle CDA = 60^{\circ} + 10^{\circ}= 70^{\circ}}\)
Pozdrawiam!

[anna_]

Chciałam tylko zwrócić uwagę na zapis:

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) wyjdzie, że \(\displaystyle{ |DC|=|AC|}\)

\(\displaystyle{ DAC}\) jest równoramienny.

Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 6.png

Zrobiłam dokładny rysunek i zmierzyłam kąt

Więc cytowanie tylko:

Zrobiłam dokładny rysunek i zmierzyłam kąt

nie ma sensu

[timon92]

wówczas \(\displaystyle{ \triangle ADE}\) jest równoboczny

Mógłbyś wykazać, z czego taki wniosek? Wiemy jedynie, że ten trójkąt jest równoramienny

racja, za dużo wczoraj sobie założyłem

Możey zapisać następującą równość dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\).
\(\displaystyle{ 20^{\circ}+20^{\circ}+40^{\circ}+ \left( 40^{\circ}-x\right) +\left( 80^{\circ}- 2x\right)+10^{\circ}=180^{\circ} \\ 210^{\circ} - 3x = 180^{\circ} \\ x =10^{\circ}}\)

skąd ta równość?

[wujomaro]

Cóż, chcąc udowodnić, że ten trójkąt jest równoboczny nieświadomie i mylnie założyłem, że \(\displaystyle{ \angle EDA =2 \angle DAS}\)...

[piasek101]

Podoba mi się rozwiązanie bb314.

Opierając się na jej rysunku - można było wykazać, że przedłużenie CF przecina AD pod kątem prostym.

[kinia7]

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) wyjdzie, że \(\displaystyle{ |DC|=|AC|}\)

Mogłabym prosić o wyjaśnienie tego?
Te dwa trójkąty mają inne promienie okręgów opisanych na nich, więc chyba nie można kierować się tw. sinusuw?

[anna_]

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin 30^o} = \frac{a}{sin 140^o} \Rightarrow x= \frac{a \sin 30^o}{\sin140^o}}\)

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin 80^o} = \frac{b}{sin 50^o} \Rightarrow b= \frac{a \sin 50^o}{\sin80^o}}\)

i wyjdzie, że \(\displaystyle{ \frac{a \sin 30^o}{\sin140^o} =\frac{a \sin 50^o}{\sin80^o}}\)
czyli \(\displaystyle{ x=b}\)

[kinia7]

i wyjdzie, że \(\displaystyle{ \frac{a \sin 30^o}{\sin140^o} =\frac{a \sin 50^o}{\sin80^o}}\)

Próbowałam ale jakoś nie chce mi wyjść. Mogłabym prosić o pociągnięcie tego?