Znalezc rozwiazanie ogolne rownania
\(\displaystyle{ y'''+3y''+4y'-8y=0}\)
W jakiej postaci przewidujemy rozwiazanie szczegolne jesli po prawej stronie rownania jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=e^{-2x}(4+2x+sin2x)?}\)
Rozwiazanie ogolne rownania
-
koliber1000
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 59 razy
-
mechatronik300
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 26 sty 2013, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Rozwiazanie ogolne rownania
Co do równania to trzeba rozwiązać równanie sześcienne
\(\displaystyle{ z(r)=r ^{3}+3r ^{2}+4r-8=0}\) wiesz skąd ono się wzięło?
W rozwiązaniu dostaniesz trzy pierwiastki tego równania. Jeśli pierwiastki są liczbami rzeczywistymi i jeden z nich jest pierwiastkiem podwójnym to rozwiązaniem twojego równania będzie postaci:
\(\displaystyle{ y=C _{1}e ^{r _{1} x}+xC _{2}e ^{r _{2,3}x }}\) ten \(\displaystyle{ x}\) przy stałej \(\displaystyle{ C _{2}}\) wziął się stąd, że w równaniu otrzymałeś pierwiastek podwójny, gdyby go nie było nie było by tego \(\displaystyle{ x}\) (nie jestem pewien co zrobić w sytuacji gdy mamy trzy różne pierwiastki).
Gdy pierwiastki równania \(\displaystyle{ z(r)}\) są liczbami zespolonymi postaci \(\displaystyle{ r= \alpha +i \beta}\)
równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \alpha }(C _{1}cos \beta +sin \beta )}\)
Co do metody przewidywania przemnóż wyrażenie z \(\displaystyle{ e}\) przez nawias i zrób trzy równania do każdego ze składników i licz każdy przypadek osobno a wynik będzie sumą uzyskanych wyników trzech równań
\(\displaystyle{ z(r)=r ^{3}+3r ^{2}+4r-8=0}\) wiesz skąd ono się wzięło?
W rozwiązaniu dostaniesz trzy pierwiastki tego równania. Jeśli pierwiastki są liczbami rzeczywistymi i jeden z nich jest pierwiastkiem podwójnym to rozwiązaniem twojego równania będzie postaci:
\(\displaystyle{ y=C _{1}e ^{r _{1} x}+xC _{2}e ^{r _{2,3}x }}\) ten \(\displaystyle{ x}\) przy stałej \(\displaystyle{ C _{2}}\) wziął się stąd, że w równaniu otrzymałeś pierwiastek podwójny, gdyby go nie było nie było by tego \(\displaystyle{ x}\) (nie jestem pewien co zrobić w sytuacji gdy mamy trzy różne pierwiastki).
Gdy pierwiastki równania \(\displaystyle{ z(r)}\) są liczbami zespolonymi postaci \(\displaystyle{ r= \alpha +i \beta}\)
równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \alpha }(C _{1}cos \beta +sin \beta )}\)
Co do metody przewidywania przemnóż wyrażenie z \(\displaystyle{ e}\) przez nawias i zrób trzy równania do każdego ze składników i licz każdy przypadek osobno a wynik będzie sumą uzyskanych wyników trzech równań