Granica sumy ułamków.

[szczylu]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{2}{ \sqrt{4n^{2} - 1} } + \frac{2}{ \sqrt{4n^{2} - 2^{2}} } + ... + \frac{2}{ \sqrt{4n^{2} - n^{2} } } )}\)

[HelpMePls]

Obróć to całe wyrażenie, wtedy będziesz miał miał w mianowniku sumę pierwiastków podzieloną przez 2. Następnie oszacuj sumę pierwiastków z twierdzenia o dwóch ciągach.

[szczylu]

Spoko mógłbyś mi to rozpisać bo nie za bardzo ogarniam

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^nf \left( \frac kn\right) = \int\limits_{0}^1f(x)dx}\)

Q.

[HelpMePls]

jednak sorki, moje rozwiązanie było złe, policzyłem szybko w pamięci i głupotę zrobiłem

[szczylu]

No rozkminiam, że lewą stronę twojej wskazówki można napisać jako \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{k^2}{n^2} } }}\) a prawa jak będzie w takim razie wyglądać tak ? \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x }}}\) ??

[Qń]

No rozkminiam, że lewą stronę twojej wskazówki można napisać jako \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{k^2}{n^2} } }}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{ \sqrt{4 - \frac{k^2}{n^2} } }}\)

W takim razie funkcja to \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}\).

Q.

[szczylu]

Ok dzięki ja sobie głupio wyciągnąłem przez nawias Pozdrawiam