Granica jednostronna

[superkwasek]

Cześć, mam taki przykład

Oblicz granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( x + \left( \frac{1}{3} \right) ^{ \frac{1}{x ^{2}- 7x +10 }} \right)}\)

Jak mam to obliczyć aby wykładowca zaliczył? Czy ten sposób jest ok?

Podstawiam 5:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( 5 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{ \frac{1}{0 }} \right)}\)

Sprawdzam czy 0 jest ujemne czy dodatnie, podstawiam 4.9.
0 wychodzi ujemne czyli

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( 5 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{- \infty}} \right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( 5 + 3^{ \infty} \right) = \infty}\)

Czy taki sposób jest dobry?

[wojtusp7]

W wykładniku trzeba funkcje kwadratową, np. rozrysować i zobaczyć czy podchodząc do 5 z lewej strony funkcja jest dodatnia czy ujemna. Ogólnie nie powinno się sprawdzać podstawiając 4.9 czy inne przybliżenie, bo czasami może to być nieprawdą. Raczej trzeba zbadać przebieg zmienności funkcji.
Jak pisze się\(\displaystyle{ \lim_{ \to }}\) to nie można podstawić jeszcze 5, bo to już jest wtedy granica.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( x + \left( \frac{1}{3} \right) ^{ \frac{1}{x ^{2}- 7x +10 }} \right) =\lim_{ x\to 5 ^{-} } \left( x + \left( \frac{1}{3} \right) ^{ \left( x-2 \right) \left( x-5 \right) } \right) =5+ \left( \frac{1}{3} \right) ^ \frac{1}{0 ^{-} } =5+ 3^\infty}\)

[superkwasek]

Ale czy muszę koniecznie rysować funkcję kwadratową?

Nie mogę po prostu podstawić 4.9 do wykładnika? I zobaczyć czy wynik wyjdzie dodatni czy ujemny, czyli 0 dodatnie czy ujemne?

[wojtusp7]

Tak, bo wówczas blefujesz, że pomiędzy 4.9 a 5 nie ma np. wierzchołka funkcji.

[superkwasek]

Czyli wystarczy "naszkicować" wykres z miejscami zerowymi tylko oś.x? Bo to już mi pokazuje czy funkcja jest do 5 ujemna czy dodatnia, a wiadome, jest, że wierzchołek jest zawsze pośrodku.

[wojtusp7]

Tak, po prostu badanie przebiegu zmienności funkcji. W przypadku wielomianów, wystarczy znaleźć miejsca zerowe i zgodnie z zasadami rysowania wykresów wielomianów, można określić czy + czy -.