całka krzywoliniowa

[arti367]

oblicz całkę krzywoliniową między punktami \(\displaystyle{ x_{1}=(0,1)}\) i \(\displaystyle{ x_{2} =(1,0)}\) dla krzywej bezpośrednio łączącej punkty \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\).
moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x: 0 \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ y: 1 \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ I= \int_{C_1}}\) + \(\displaystyle{ \int_{C_2}}\)
dla \(\displaystyle{ C_1}\):\(\displaystyle{ y=0, \mbox{d}y =0}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}0=0}\)
dla \(\displaystyle{ C_2}\): \(\displaystyle{ x=1, \mbox{d}x =0}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{0}-y^2 \mbox{d}y= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ I=0+ \frac{1}{3}= \frac{1}{3}}\)

odpowiedź w rozwiązaniach to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a jako wskazówka podane jest coś z parametrami (?). Sposób rozwiązania całki przeze mnie jest zaczerpnięty z innej książki, gdzie leży błąd ?

[octahedron]

Ale całkę jakiej funkcji?

[arti367]

funkcja: \(\displaystyle{ \int_{C}xydx- y^{2}dy}\)

[octahedron]

Twój sposób działa, jeśli całka jest niezależna od drogi całkowania, a tak nie musi być.

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\y=1-t\\t\in[0,1]\end{cases}\\\\
\int_C xydx-y^2dy=\int_0^1xyx'+y^2y'\,dt=\int_0^1t(1-t)-(1-t)^2\,dt=\\\\
=\int_0^13t-1\,dt=\left[\frac{3}{2}t^2-t\right]_0^1=\frac{1}{2}}\)

[arti367]

wygląda bardzo dobrze, prosiłbym o wytłumaczenie tego fragmentu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\y=1-t\\t\in[0,1]\end}\)

tzn. w jaki sposób przypisujemy to "t" oraz ustalamy przedział ?

[octahedron]

Odcinek o końcach \(\displaystyle{ (x_1,y_1),\,(x_2,y_2)}\) można sparametryzować tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)t\\y=y_1+(y_2-y_1)t\end{cases}}\)

[arti367]

dzięki, bardzo mi pomogłeś. Jeszcze ostatnie pytanie: jeżeli te same punkty łączyłaby parabola, to jak wtedy parametryzujemy ? w Internecie znalazłem wzór na parametryzację dla okręgu, prostej i elipsy, paraboli nie ;/

[octahedron]

Dla paraboli dwa punkty to za mało, nie da się jej wyznaczyć.