Witam,
Mam problem z takim oto przykładem:
Zbadaj zbieżność warunkową szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[\ln (n)]}}{n}}\)
Wydaje mi się że szereg będzie zbieżny warunkowo, ale nie za bardzo potrafię to rozpisać jakimkolwiek kryterium bądź w inny sposób. Jeśli się nie mylę Leibniza nie mogę użyć bo nie jest to cecha z n tylko z logarytmu naturalnego więc wyrazy nie będą zmieniały znaku naprzemiennie lecz co kilka. Udowodniłem oczywiście że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie. Jedyne co przychodzi mi do głowy to, że funkcja \(\displaystyle{ \ln (x)}\) rośnie do nieskończoności więc co chwilę będziemy dodawać i odejmować pewne niewielkie liczby, ale to zapewne niczego nie dowodzi. Proszę więc o sensowne uzasadnienie zbieżności (bądź jej braku) albo przynajmniej jakąś cenna wskazówkę
Zbadaj zbieżność warunkową szeregu (z cechą z logarytmu)
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Zbadaj zbieżność warunkową szeregu (z cechą z logarytmu)
Tak jak zauważyłeś, będą na przemian grupy wyrazów dodatnich i ujemnych. Weźmy taką jedną grupę:
\(\displaystyle{ m\le\ln n<m+1,\,m\in N\\\\
e^m\le n<e^{m+1}}\)
Wyrazów w tej grupie jest \(\displaystyle{ \lfloor e^{m+1}\rfloor-\lceil e^m\rceil+1>e^{m+1}-e^m-1}\), co do modułu wszystkie są większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{m+1}}}\), więc moduł ich sumy:
\(\displaystyle{ \left|\sum_{n=\lceil e^m\rceil}^{\lfloor e^{m+1}\rfloor}\frac{(-1)^{\lfloor\ln n\rfloor}}{n}\right|>\frac{e^{m+1}-e^m-1}{e^{m+1}}=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e^{m+1}}>1-\frac{2}{e}}\)
Z kryterium Cauchy'ego wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) takie sumy muszą być dowolnie małe, aby szereg był zbieżny, a jak widać tak nie jest. Zatem szereg jest rozbieżny.
\(\displaystyle{ m\le\ln n<m+1,\,m\in N\\\\
e^m\le n<e^{m+1}}\)
Wyrazów w tej grupie jest \(\displaystyle{ \lfloor e^{m+1}\rfloor-\lceil e^m\rceil+1>e^{m+1}-e^m-1}\), co do modułu wszystkie są większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{m+1}}}\), więc moduł ich sumy:
\(\displaystyle{ \left|\sum_{n=\lceil e^m\rceil}^{\lfloor e^{m+1}\rfloor}\frac{(-1)^{\lfloor\ln n\rfloor}}{n}\right|>\frac{e^{m+1}-e^m-1}{e^{m+1}}=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e^{m+1}}>1-\frac{2}{e}}\)
Z kryterium Cauchy'ego wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) takie sumy muszą być dowolnie małe, aby szereg był zbieżny, a jak widać tak nie jest. Zatem szereg jest rozbieżny.
-
HelpMePls
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 15:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z daleka
- Podziękował: 2 razy
Zbadaj zbieżność warunkową szeregu (z cechą z logarytmu)
Warunek Cauchy'ego przemknął mi przez myśl ale nie za bardzo wiedziałem jak to zapisać żeby czegokolwiek dowieść 
dzięki wielkie za wytłumaczenie
dzięki wielkie za wytłumaczenie
Zbadaj zbieżność warunkową szeregu (z cechą z logarytmu)
Podoba mi się
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[\ln (n)]}}{n}}\) jest rozbieżny.
A jeśli zamiast logarytmu weźmiemy pierwiastek kwadratowy z n, to otrzymamy zbieżność.
Co więcej wystarczy tylko logarytm podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[\ln^2(n)]}}{n}}\) jest zbieżny.
Zbieżny jest też
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[n\sqrt{2}]}}{n}}\), a o
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[n\sqrt{3}]}}{n}}\) nie wiem.
Czy te przykłady mają jakieś ładne wspólne uogólnienie?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[\ln (n)]}}{n}}\) jest rozbieżny.
A jeśli zamiast logarytmu weźmiemy pierwiastek kwadratowy z n, to otrzymamy zbieżność.
Co więcej wystarczy tylko logarytm podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[\ln^2(n)]}}{n}}\) jest zbieżny.
Zbieżny jest też
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[n\sqrt{2}]}}{n}}\), a o
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{[n\sqrt{3}]}}{n}}\) nie wiem.
Czy te przykłady mają jakieś ładne wspólne uogólnienie?