miara na sigma ciele

[Manolin]

Witam
Mam problem za takim zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie nieujemną skończenie addytywną funkcją na sigma ciele \(\displaystyle{ F}\) . Załóżmy ponadto że dla każdego ciągu zstępującego \(\displaystyle{ (A_{n})}\) zbiorów z \(\displaystyle{ F}\) , takiego że \(\displaystyle{ \bigcap _{n=1}^\infty A _{n}}\) jest zbiorem pustym
mamy
\(\displaystyle{ \lim _{n \rightarrow \infty} f(A _{n}) =0.}\)
Wykaż , że \(\displaystyle{ f}\) jest miarą na sigma ciele \(\displaystyle{ F}\).

Bardzo bym prosił o jakiś szkic rozwiązania

[brzoskwinka1]

Weźmy ciąg parami rozłącznych zbiorów mierzalnych \(\displaystyle{ (A_i ) .}\) Oznaczmy \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n , B_k = \bigcup_{j=1}^{k} A_k , C_k =A \setminus B_k .}\)
Mamy , \(\displaystyle{ C_{k+1} \subset C_k}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{k=1}^{\infty } C_k =\emptyset .}\)
Więc \(\displaystyle{ 0 = \lim_{ k\to\infty } f(C_k ) = \lim_{ k\to\infty } (f(A) -f(C_k ) ) =\lim_{ k\to\infty } \left( f(A) - \sum_{j=1}^{k} f(A_j ) \right) = f(A) - \sum_{j=1}^{\infty} f(A_j ) .}\)