ekstrema funkcji dwóch zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 12:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 210 razy
- Pomógł: 1 raz
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4x+4y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=4y^3+4x-4y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y^3+4x-4y=0\\ 4x^3-4x+4y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 4y^3+4x^3=0}\) /:4
\(\displaystyle{ y^3+x^3=0}\)
\(\displaystyle{ y^3=0 \vee x^3=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 \\ x=0}\)
\(\displaystyle{ P=(0,0)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12x^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)
\(\displaystyle{ H(P)=-4 \cdot 4-4^2=0}\)
Dobrze ?;)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4x+4y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=4y^3+4x-4y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y^3+4x-4y=0\\ 4x^3-4x+4y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 4y^3+4x^3=0}\) /:4
\(\displaystyle{ y^3+x^3=0}\)
\(\displaystyle{ y^3=0 \vee x^3=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 \\ x=0}\)
\(\displaystyle{ P=(0,0)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12x^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)
\(\displaystyle{ H(P)=-4 \cdot 4-4^2=0}\)
Dobrze ?;)
Ostatnio zmieniony 13 lut 2013, o 17:49 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Dla \(\displaystyle{ x=2, y=-2}\) lewa strona zeruje się. Niestety, ale druga linijka jest błędnym wnioskiem z pierwszej.adaxada pisze: \(\displaystyle{ y^3+x^3=0}\)
\(\displaystyle{ y^3=0 \cup x^3=0}\)
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Prawidłowe oznaczenie to \(\displaystyle{ \vee}\).
Tak jak napisano, wniosek nie jest poprawny. Z równania \(\displaystyle{ x^3=y^3}\) wynika \(\displaystyle{ x=-y}\).
Tak jak napisano, wniosek nie jest poprawny. Z równania \(\displaystyle{ x^3=y^3}\) wynika \(\displaystyle{ x=-y}\).
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
A muszą? Punkty zerujące gradient to pary \(\displaystyle{ (x,-x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\). Masz więc sprawdzić każdy z tych punktów.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Podstawić możesz co chcesz. Ale sprawdzić musisz wszystkie przypadki, tzn sprawdzić ekstrema dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\).
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Zależność \(\displaystyle{ x=-y}\) należy następnie podstawić do jednego z równań, np. \(\displaystyle{ y^3+x-y=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ y^3-2y=0}\) i stąd można wyznaczyć punkty stacjonarne.
-
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 12:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 210 razy
- Pomógł: 1 raz
ekstrema funkcji dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12x^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)
a to się zgadza ??
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)
a to się zgadza ??