[Planimetria] łuk okręgu

[bury]

AB - dany łuk okręgu
M - jego (tego łuku) środek
N - dowolny punkt okręgu, różny od A i B

teza: wartość \(\displaystyle{ \frac{||AM|^2-|MN|^2|}{|AN|\cdot |BN|}}\) nie zależy od wyboru punktu N.

jak się za takie coś zabrać?

[klaustrofob]

np. z twierdzenia sinusów.

[bury]

mógłbyś jednak pokazać?
probwałem, ale chyba za dużo kątów wprowadzam ...

[klaustrofob]

niestety, bez rysunku i zrobie tylko wersję, w której N leży na "zewnętrznym" łuku AB, tj. na tym, na którym nie leży M. wtedy AMBN jest czworokątem wypukłym, na którym opisany jest wyjściowy okrąg. niech \(\displaystyle{ \angle ANM=\angle BNM=\alpha,\ NAM=\phi}\), wtedy \(\displaystyle{ \angle NBM=\pi-\phi}\), niech promień okręgu = R. wtedy \(\displaystyle{ MN=2R\sin\phi}\), \(\displaystyle{ AM=2R\sin \alpha}\), \(\displaystyle{ BN=2R\sin (\phi-\alpha)}\), \(\displaystyle{ AN=2R\sin (\phi+\alpha)}\). podstawiamy do równości: \(\displaystyle{ \frac{||AM|^2-|MN|^2|}{|AN|\cdot |BN|}=\frac{|4R^2\sin^2\alpha-4R^2\sin^2\phi|}{|2R\sin(\phi+\alpha)\cdot 2R\sin(\phi-\alpha)|}=^{*} \frac{2|\sin^2\alpha-\sin^2\phi|}{|2\sin\frac{2(\phi+\alpha)}{2}\sin\frac{2(\phi-\alpha)}{2}|}=^{**} \frac{2|\sin^2\alpha-\sin^2\phi|}{|\cos 2\phi-\cos 2\alpha|}=\frac{2|\sin^2\alpha-\sin^2\phi|}{|1-2\sin^2\phi-(1-2\sin^2\alpha)|}=1}\)



na szczęście udało mi się zauważyć równość z różnicą kosinusów w **, w przeciwnym wypadku wymnażałbym mianownik w *. też by wyszło, ale więcej liczenia. dla drugiego przypadku obliczenia powinny pójść tak samo, trzeba tylko sprawdzić kąty.

cieszyłbym się jednak, gdyby ktoś podał rozwiązanie bez tw. sinusów.

[taka_jedna]

Bez twierdzenia sinusów? Mam pomysł ale tylko jak N leży po tej stronie łuku AB, na której nie ma M.
Założenie: AN jest dłuższe bądź równe BN
Na półprostej NM, za punktem M zaznaczamy taki punkt A', że A'M=AM=BM. Mamy więc okrąg o środku M i promieniu AM. Przecina on odcinek AN w jakimś punkcie różnym od A - nazwijmy ten punkt B'.
Trójkąty MNB i NB'M są przystające. Czemu? Mają wspólny bok, kątBNM=kątB'NM(oparte na łuku o tej samej długości, kątNB'M=kątNBM (NAM=180-NBM; MAN=MB'A; MB'N=180-MB'A).
NB'=NB
Z jakiegośtam twierdzenia: \(\displaystyle{ NM^{2}-MA'^{2}=NB' \cdot NA \Rightarrow \frac{NM^{2}-MA^{2}}{NB \cdot NA}=1}\)