ekstrema funkcji dwóch zmiennych

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:24

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4x+4y}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=4y^3+4x-4y}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y^3+4x-4y=0\\ 4x^3-4x+4y=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 4y^3+4x^3=0}\) /:4

\(\displaystyle{ y^3+x^3=0}\)

\(\displaystyle{ y^3=0 \vee x^3=0}\)

\(\displaystyle{ y=0 \\ x=0}\)

\(\displaystyle{ P=(0,0)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12x^2-4}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)

\(\displaystyle{ H(P)=-4 \cdot 4-4^2=0}\)

Dobrze ?;)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 17:30

adaxada pisze: \(\displaystyle{ y^3+x^3=0}\)

\(\displaystyle{ y^3=0 \cup x^3=0}\)

Dla \(\displaystyle{ x=2, y=-2}\) lewa strona zeruje się. Niestety, ale druga linijka jest błędnym wnioskiem z pierwszej.

Post autor: **Chromosom** » 13 lut 2013, o 17:33

adaxada pisze: \(\displaystyle{ y^3=0 \cup x^3=0}\)

Co to ma znaczyć?

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:35

\(\displaystyle{ \cup}\) oznacza lub

Post autor: **Chromosom** » 13 lut 2013, o 17:50

Prawidłowe oznaczenie to \(\displaystyle{ \vee}\).

Tak jak napisano, wniosek nie jest poprawny. Z równania \(\displaystyle{ x^3=y^3}\) wynika \(\displaystyle{ x=-y}\).

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 18:00

z zapisu \(\displaystyle{ x=-y}\) nie wynikają konkretne liczby...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 18:10

A muszą? Punkty zerujące gradient to pary \(\displaystyle{ (x,-x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\). Masz więc sprawdzić każdy z tych punktów.

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 18:13

no nie muszą. czyli mogę tutaj podstawić dowolne liczby ??

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 18:16

Podstawić możesz co chcesz. Ale sprawdzić musisz wszystkie przypadki, tzn sprawdzić ekstrema dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\).

Post autor: **Chromosom** » 13 lut 2013, o 18:31

Zależność \(\displaystyle{ x=-y}\) należy następnie podstawić do jednego z równań, np. \(\displaystyle{ y^3+x-y=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ y^3-2y=0}\) i stąd można wyznaczyć punkty stacjonarne.

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 19:12

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12x^2-4}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=12y^2-4}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=4}\)

a to się zgadza ??

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 19:22

A to się zgadza.