ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:34

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-xy+y^2+3x-2y+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x-y+3}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=-x+2y-2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3=0\\ -x+2y-2=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -y=-2x-3\\ -x=-2y+2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x+3\\ x=2y-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=2 \cdot (2y-2)+3}\)

\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ x=2 \cdot (- \frac{1}{3} )-2}\)

\(\displaystyle{ x=- \frac{8}{3}}\)

Dobrze ??

Post autor: **Chromosom** » 13 lut 2013, o 17:37

adaxada pisze: \(\displaystyle{ y=2 \cdot (2y-2)+3}\)

\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ x=2 \cdot (- \frac{1}{3} )-2}\)

\(\displaystyle{ x=- \frac{8}{3}}\)

Powyższe obliczenia są błędne.

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:40

Może jakaś podpowiedź ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 17:45

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}}\)

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:53

Sama już do tego doszłam
\(\displaystyle{ x=- \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ P= \left( - \frac{4}{3}, \frac{1}{3} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y }=-1}\)

Dobrze ??

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 17:57

adaxada pisze: \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=-1}\)
Dobrze ??

To jest źle.

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 17:59

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=2}\)
Teraz dobrze ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 lut 2013, o 18:02

tez nie

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 18:07

ale z tego \(\displaystyle{ (-x+2y-2) _{y}}\) wychodzi mi tylko 2...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 18:12

miodzio1988 pisze:tez nie

To jest równe \(\displaystyle{ 2}\)...

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2}\)

adaxada · Post autor: **adaxada** » 13 lut 2013, o 18:22

\(\displaystyle{ H \left( P \right) =3}\)
istnieje minimum

\(\displaystyle{ f _{min} \left( - \frac{4}{3} , \frac{1}{3} \right) = \left( - \frac{4}{3} \right) ^2- \left( - \frac{4}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{3} \right) ^2 +3 \cdot \left( - \frac{4}{3} \right) -2 \cdot \frac{1}{3} +1=- \frac{4}{3}}\)
Tak ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 18:24

Zgadza się. Wartość minimalna również.