Czy zbiór jest otwarty ?

[lukasz_p92]

Czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y)\in R ^{2}: y<x^{2} \right\}}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ R ^{2}}\) ??
Jak to rowzwiązac,bo szukałem przykłądow i nie mogłem znaleźć ;/
Dziekuje ze pomoc.

[smigol]

Najlepiej naszkicować ten zbiór i sprawdzić jakie punkty \(\displaystyle{ \RR ^2}\) mają otoczenia, które zawierają się w tym zbiorze.

[lukasz_p92]

Mhmmm, dziekuje za podpowiedz ale niestety niedużo mi to pomaga ;/
Narysuje dla pkt np,1,2,3,4,5 i jak dalej to sprawdzić ?

[lukasz.przontka]

\(\displaystyle{ (x,r) \in A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon y < x^2\}}\) to biorąc \(\displaystyle{ r = \frac{\inf_{x \in \mathbb{R}} |y -x^2|}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ B((x,y),r) \subset A}\).

[norwimaj]

Dopełnienie zbioru jest oczywiście domknięte, bo nierówności nieostre zachowują się przy braniu granicy ciągu.

lukasz.przontka, dla \(\displaystyle{ y\ge0}\) mamy \(\displaystyle{ \inf_{x \in \mathbb{R}} |y -x^2| = 0}\). Chodziło Ci chyba o

\(\displaystyle{ r=\inf_{t\in\mathbb{R}}\sqrt{(t-x)^2+(t^2-y)^2}.}\)

[lukasz.przontka]

Tak dokładnie. Odległość punktu od paraboli...