Mam udowodnić taki fakt (1):
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C)}\)
No więc przekształcam
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C = (A \cap B') \times C = (A \times C) \cap (B' \times C)}\)
Teraz, żeby udowodnić (1), mam ochotę napisać (2):
\(\displaystyle{ (A \times C) \cap (B' \times C) = (A \times C) \cap (B \times C)'}\)
Wtedy wyjdzie ładnie, ale jeśli np. dopełniam do produktu zbiorów liczb rzeczywistych, a B i C są zbiorami ograniczonymi, to równość (2) nie jest prawdziwa. Więc powinienem tutaj dopełnić do jakiegoś mniejszego zbioru? Czy to będzie miało sens (i przy okazji jak to zapisać)?
Bo tutaj
\(\displaystyle{ B' \times C \neq (B \times C)' \neq (B' \times C')}\)
No więc w końcu nie wiem, jak przejść przez ten krok. A może da się go jakoś ominąć?
Iloczyn kartezjański i różnica (trzy zbiory)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Iloczyn kartezjański i różnica (trzy zbiory)
To, co robisz, jest bardziej subtelne i wymaga więcej obserwacji.
Całość można ładnie ominąć, rozpisując najprościej, jak to jest tylko możliwe, czyli na elementach. Spróbuj. Początek zamieszczam niżej:
\(\displaystyle{ (x,y) \in (A\times C)\setminus (B\times C)\iff\\
(x,y)\in (A\times C)\wedge (x,y)\not\in (B\times C)\iff\\
\ldots}\)
Całość można ładnie ominąć, rozpisując najprościej, jak to jest tylko możliwe, czyli na elementach. Spróbuj. Początek zamieszczam niżej:
\(\displaystyle{ (x,y) \in (A\times C)\setminus (B\times C)\iff\\
(x,y)\in (A\times C)\wedge (x,y)\not\in (B\times C)\iff\\
\ldots}\)
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 10 kwie 2012, o 13:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 12 razy
Iloczyn kartezjański i różnica (trzy zbiory)
Ale teraz udowodniłeś tylko, że każda para, która należy do
\(\displaystyle{ (A\times C)\setminus (B\times C)}\)
należy także do
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C}\)
czyli że to pierwsze się zawiera w drugim. A w drugą stronę to już jest większy problem. Przepisanie tego od tyłu, żeby to udowodnić, wydaje mi się bezsensowne.
\(\displaystyle{ (A\times C)\setminus (B\times C)}\)
należy także do
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C}\)
czyli że to pierwsze się zawiera w drugim. A w drugą stronę to już jest większy problem. Przepisanie tego od tyłu, żeby to udowodnić, wydaje mi się bezsensowne.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Iloczyn kartezjański i różnica (trzy zbiory)
Wykorzystuję po drodze definicje i kilka prostych tautologii. Wszystkie są na tyle elementarne, że powinny być Ci znane.