Iloczyn kartezjański i różnica (trzy zbiory)

[goku94]

Mam udowodnić taki fakt (1):
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C)}\)
No więc przekształcam
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C = (A \cap B') \times C = (A \times C) \cap (B' \times C)}\)
Teraz, żeby udowodnić (1), mam ochotę napisać (2):
\(\displaystyle{ (A \times C) \cap (B' \times C) = (A \times C) \cap (B \times C)'}\)
Wtedy wyjdzie ładnie, ale jeśli np. dopełniam do produktu zbiorów liczb rzeczywistych, a B i C są zbiorami ograniczonymi, to równość (2) nie jest prawdziwa. Więc powinienem tutaj dopełnić do jakiegoś mniejszego zbioru? Czy to będzie miało sens (i przy okazji jak to zapisać)?
Bo tutaj
\(\displaystyle{ B' \times C \neq (B \times C)' \neq (B' \times C')}\)
No więc w końcu nie wiem, jak przejść przez ten krok. A może da się go jakoś ominąć?

[yorgin]

To, co robisz, jest bardziej subtelne i wymaga więcej obserwacji.

Całość można ładnie ominąć, rozpisując najprościej, jak to jest tylko możliwe, czyli na elementach. Spróbuj. Początek zamieszczam niżej:

\(\displaystyle{ (x,y) \in (A\times C)\setminus (B\times C)\iff\\
(x,y)\in (A\times C)\wedge (x,y)\not\in (B\times C)\iff\\
\ldots}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (x,y) \in (A\times C)\setminus (B\times C)\iff\\
(x,y)\in (A\times C)\wedge (x,y)\not\in (B\times C)\iff\\
x\in A \wedge y\in C \wedge (x\not\in B \vee y\not\in C)\iff\\
(x\in A \wedge y\in C \wedge x\not\in B)\vee (x\in A \wedge y\in C\wedge y\not\in C)\iff\\
(x\in A \wedge y\in C \wedge x\not\in B)\iff\\
x\in A\setminus B \wedge y\in C\iff\\
(x,y)\in (A\setminus B)\times C}\)

[goku94]

Ale teraz udowodniłeś tylko, że każda para, która należy do
\(\displaystyle{ (A\times C)\setminus (B\times C)}\)
należy także do
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times C}\)
czyli że to pierwsze się zawiera w drugim. A w drugą stronę to już jest większy problem. Przepisanie tego od tyłu, żeby to udowodnić, wydaje mi się bezsensowne.

[yorgin]

Ale przecież wszędzie mam równoważności, więc pokazałem równość zbiorów, nie ich zawieranie.

[goku94]

Dlaczego to są równoważności, a nie tylko wynikanie?

[yorgin]

Wykorzystuję po drodze definicje i kilka prostych tautologii. Wszystkie są na tyle elementarne, że powinny być Ci znane.

[goku94]

No dobra, niech będzie. Dzięki.