Równanie różniczkowe z dziwnym warunkiem początkowym.

[Semtex4]

Proszę o pomoc ponieważ mam równanie różniczkowe z fizyki do rozwiązania i wychodzą mi bardzo dziwne rzeczy:
\(\displaystyle{ x"-2x'+25x=0}\)
podstawiam \(\displaystyle{ x=e^{\alpha t}}\)
mam \(\displaystyle{ \Delta=-96}\)
przechodzę na zespolone
\(\displaystyle{ \Alpha_{1}=2-i2\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ \Alpha_{2}=2+i2\sqrt{6}}\)
układając równania dla \(\displaystyle{ x(1)=2}\) i \(\displaystyle{ x'(0)=3}\) wychodzą mi bardzo dziwne rzeczy. Mógłby mi ktoś to rozwiązać do końca? Z góry dzięki.

[yorgin]

Rozwiązanie ogólne jest postaci

\(\displaystyle{ x(t)=Ae^{2t}\sin (2\sqrt{6}t)+Be^{2t}\cos(2\sqrt{6}t)}\)

Z warunku

\(\displaystyle{ x'(0)=3}\)

dostajemy

\(\displaystyle{ 2A\sqrt{6}+2B=3}\)

a warunku

\(\displaystyle{ x(1)=2}\)

wychodzi

\(\displaystyle{ 2=Ae^2\sin(2\sqrt{6})+Be^2\cos(2\sqrt{6})}\)

Nic nadzwyczajnego z tego nie wychodzi, ale \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są wyliczalne.

[Semtex4]

Już wszystko rozumiem, tylko dlaczego argumentem sinusa nie jest samo t? Znalazłem coś takiego w internecie .

[yorgin]

Można to wyprowadzić bazując na rozwiązaniach zapisanych za pomocą funkcji exp.

Zauważ, że jeśli chcesz policzyć

\(\displaystyle{ e^{a+ib}}\)

to jest to równe

\(\displaystyle{ e^{a}(\cos b+i\sin b)}\)

Przyjrzyj się teraz postaci rozwiązań oraz Twoim pierwiastkom. Widzisz analogie?