Całka potrójna - jakie podstawienie

[diodamen]

Mógłby mi ktoś podpowiedzieć jakiego podstawienie powinienem użyć, aby policzyć tą całkę?

\(\displaystyle{ \iiint_{V} (2x2y3z^2)dxdydz}\), gdzie V jest ograniczone powierzchnią \(\displaystyle{ x^2+ \frac{y^2}{2} +z^2=4}\) ; \(\displaystyle{ z>0}\)

Myślałem nad podstawieniem sferycznym, ale nie jestem tego pewien ponieważ y jest podzielone przez 2.
A jeśli podstawienie sferyczne będzie dobre to te granice całkowania będą dobre?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0<r<2\\0<\varphi<2\pi \\0<\psi< \frac{\pi}{2} \end{array}}\)

[yorgin]

Prawie sferyczne, a dokładniej eliptyczne.

\(\displaystyle{ x, z}\) wyglądają tak samo, natomiast \(\displaystyle{ y=\sqrt{2} \cdot \ldots}\) i w miejsce kropek wstawiasz sinusy i kosinusy odpowiednich kątów.

Mnożymy przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), by "rozciągnąć elipsoidę do sfery".

[diodamen]

czyli to ma wyglądać tak?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\sin\psi\cos\varphi\\y=\sqrt{2}*2r\sin\psi\sin\varphi\\z=r\cos\psi \end{array}}\)

\(\displaystyle{ J=r^2\sin\psi}\)
a granice całkowania będą takie jak wcześniej zapisałem?

[yorgin]

Granice są okej.

Ale zauważ, że jakobian ulegnie zmianie. Druga współrzędna została pomnożona przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), więc i cały jakobian musi być przez ten czynnik pomnożony.

Poprawiłem również błąd - zapomniałem, że parametryzujemy całą elipsoidę z wnętrzem, a nie jej powierzchnię. Dla pewności poprawkę umieszczam poniżej:

\(\displaystyle{ y=\sqrt{2}r\sin\psi\sin\varphi}\)

[diodamen]

okej, już rozumiem dzięki za pomoc